Bisakah pembuktian dengan kontradiksi bekerja tanpa hukum perantara yang dikecualikan?

Baru-baru ini saya memikirkan validitas pembuktian melalui kontradiksi. Saya telah membaca beberapa hari terakhir tentang logika intuitionistic dan teorema Godel untuk melihat apakah mereka akan memberi saya jawaban atas pertanyaan saya. Saat ini saya masih memiliki pertanyaan yang melekat (mungkin terkait dengan materi baru yang saya baca) dan berharap mendapatkan jawaban

( PERINGATAN : Anda akan melanjutkan untuk membaca konten dengan fondasi yang sangat membingungkan dalam logika, mengambil semuanya dengan sebutir garam, yang seharusnya menjadi pertanyaan dan bukan jawaban, ada banyak kesalahpahaman di dalamnya).

Saya pikir pertanyaan utama saya adalah, begitu kami menunjukkan bahwa A tidak mengarah ke beberapa kontradiksi, jadi A tidak boleh salah, maka kita pergi dan menyimpulkan bahwa A harus benar. Bagian semacam itu masuk akal (terutama jika saya menerima hukum menengah yang dikecualikan sebagai sesuatu yang masuk akal) tetapi yang menggangguku adalah semacam bagaimana bukti oleh kontradiksi benar-benar terjadi. Pertama kita mulai dengan tidak A dan kemudian kita hanya menerapkan aksioma dan aturan kesimpulan (katakanlah secara mekanis) dan lihat kemana kita akan membawanya. Biasanya mencapai kontradiksi (katakanlah A benar atau $\neg \varphi$ dan benar). Kami menyimpulkan bahwa bukan A harus salah, jadi A benar. Tidak apa-apa. Tetapi pertanyaan saya adalah, jaminan seperti apa yang dimiliki sistem formal itu$\phi$jika saya menerapkan proses yang sama tetapi mulai dengan A bahwa saya juga tidak akan mendapatkan kontradiksi di sana ? Saya pikir ada beberapa asumsi tersembunyi yang terjadi dalam pembuktian oleh kontradiksi bahwa jika sama-sama melakukan proses yang sama dalam A seseorang tidak akan mencapai kontradiksi , jaminan macam apa yang kita miliki yang tidak akan terjadi? Apakah ada bukti yang tidak mungkin? Dengan kata lain jika saya memiliki Mesin Turning (TM) (atau super TM) yang berjalan selamanya, yang mencoba semua langkah logis dari setiap aksioma mulai dari pernyataan yang seharusnya benar , apa yang menjamin bahwa itu TIDAK HALT karena menemukan kontradiksi ?$A$

Saya kemudian membuat beberapa koneksi dengan pertanyaan saya di masa lalu dengan teorema ketidaklengkapan Godel yang berbunyi seperti ini:

Sistem formal F yang mengkonversikan aritmatika tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri (dalam F).

Ini pada dasarnya menjelaskan kepada saya bahwa jika itu benar maka konsistensi yaitu menjamin bahwa A dan bukan A tidak akan terjadi adalah mustahil. Oleh karena itu, tampaknya menjadi bukti bahwa dengan kontradiksi hanya secara implisit mengasumsikan bahwa konsistensi dijamin entah bagaimana (jika tidak, mengapa itu hanya melanjutkan dan menyimpulkan bahwa A benar dengan membuktikan bukan A tidak mungkin jika tidak tahu konsistensi bahwa dan kontradiksi mana yang baik, untuk setiap pasangan pernyataan A dan bukan A)? Apakah ini salah atau apakah saya melewatkan sesuatu?

Lalu saya berpikir, ok mari kita sertakan saja aksioma kita pada aturan menengah yang dikecualikan dan semua masalah diselesaikan. Tetapi kemudian saya menyadari, tunggu jika kita melakukan itu, kita hanya mendefinisikan masalahnya dan bukan menghadapinya. Jika saya memaksakan sistem saya untuk konsisten dengan definisi yang tidak selalu berarti sebenarnya konsisten ... kan? Saya hanya mencoba untuk memahami ide-ide ini dan saya tidak yakin apa yang harus dilakukan tetapi ini adalah apa yang saya sadari setelah beberapa hari membaca barang-barang dan menonton video di hampir setiap aspek konsep ini, kontradiksi, tengah eksklusif, logika intuitionist, teorema kelengkapan dan ketidaklengkapan Godel ...

Terkait dengan ini, tampaknya pada dasarnya tidak mungkin untuk benar-benar membuktikan secara langsung bahwa ada sesuatu yang salah tanpa aturan tengah yang dikecualikan (atau kontradiksi). Tampaknya sistem pembuktian bagus dalam membuktikan pernyataan yang benar tetapi menurut pemahaman saya tidak mampu secara langsung menunjukkan bahwa segala sesuatunya salah. Mungkin cara mereka melakukannya lebih tidak langsung dengan kontradiksi (di mana mereka menunjukkan sesuatu pasti salah atau hal buruk terjadi), atau dikecualikan tengah (di mana mengetahui nilai kebenaran hanya satu A atau tidak A memberi kita kebenaran yang lain) atau memberikan contoh tandingan (yang pada dasarnya menunjukkan bahwa yang sebaliknya benar sehingga secara tidak langsung menggunakan hukum perantara yang dikecualikan). Saya kira mungkin saya benar-benar menginginkan bukti konstruktif bahwa ada sesuatu yang salah?

Saya pikir jika saya bisa tahu bahwa jika saya membuktikan tidak A adalah salah (katakan saya menerima kontradiksi) maka itu benar-benar baik dan saya tidak perlu menerapkan semua aturan inferensi dan aksioma tanpa batas pada A dan saya dijamin A menang dapat mencapai kontradiksi. Jika itu benar maka saya pikir saya dapat menerima bukti dengan kontradiksi dengan lebih mudah. Apakah ini benar atau apakah ketidaklengkapan kedua Godel menjamin saya tidak dapat memiliki ini? Jika saya tidak dapat memiliki ini maka, teka-teki apa yang saya miliki adalah seberapa mungkin matematikawan bertahun-tahun melakukan matematika sehingga kita belum menemukan ketidakkonsistenan? Apakah saya perlu mengandalkan bukti konsistensi empiris? Atau misalnya, saya prof F konsisten dengan menunjukkan superF membuktikan F tetapi karena saya tidak akan pernah benar-benar membutuhkan superF dan hanya F, maka saya tidak dapat menjadi konten yang benar-benar berfungsi?

Saya hanya memperhatikan bahwa keluhan saya juga digeneralisasikan ke bukti langsung. Ok jadi jika saya melakukan bukti langsung dari A maka saya tahu A benar ... tapi bagaimana saya tahu bahwa jika saya melakukan bukti langsung bukan A bahwa saya juga tidak akan mendapatkan bukti yang benar? Tampak pertanyaan yang sama hanya sedikit berbeda penekanan ....

Anda bertanya (saya membuat pertanyaan Anda sedikit lebih tajam): "Apa jaminan formal yang ada bahwa tidak dapat terjadi bahwa keduanya dan menyebabkan kontradiksi?" Anda tampaknya khawatir bahwa jika logika tidak konsisten, maka bukti oleh kontradiksi itu bermasalah. Tapi ini tidak terjadi sama sekali.$\lnot p$$p$

Jika logika tidak konsisten maka pembuktian dengan kontradiksi masih merupakan aturan penalaran yang valid, tetapi begitu juga negasinya, dan aturan yang mengatakan bahwa mulai kita dapat menyimpulkan bahwa Anda adalah paus berikutnya. Ketidakkonsistenan dalam logika tidak membatalkan apa pun: justru sebaliknya, itu memvalidasi segalanya !$1 + 1 = 2$

Ada kemungkinan sumber kebingungan lain: judul pertanyaan Anda dapat dibaca secara tidak langsung menyatakan bahwa hukum perantara tengah mengatakan bahwa logika konsisten. Itu tidak benar. Konsistensi dari logika berjumlah "itu bukan kasus bahwa pernyataan dan negasinya memiliki bukti", sedangkan tengah yang dikecualikan adalah aturan yang memungkinkan kita untuk membuktikan pernyataan dari bentuk .$p \lor \lnot p$

Tambahan: Saya tidak mengerti mengapa pertanyaan ini menghasilkan begitu banyak diskusi. Saya kesulitan memahami apa sebenarnya dilema itu, dan sejauh yang bisa saya katakan, pertanyaan itu muncul dari semacam kesalahpahaman. Jika seseorang dapat menjelaskan pertanyaan itu, saya akan berterima kasih. Juga, saya hanya ingin menarik perhatian pada poin-poin berikut:

1. Bukti berdasarkan kontradiksi dan tengah yang dikecualikan adalah setara satu sama lain, sehingga judulnya, seperti yang ditulis, tidak masuk akal. Tentu saja kita tidak dapat memiliki satu tanpa yang lain, mereka setara.

2. Dari apa yang dapat saya pahami dari diskusi panjang dalam pertanyaan, OP tampaknya mengatakan, atau khawatir, bahwa ketidakkonsistenan dalam logika membatalkan bukti. Ini salah, seperti yang saya tunjukkan di atas. Saya akan menghargai semacam respon dari OP: dapatkah OP melihat bagaimana ketidakkonsistenan dalam logika (yaitu, mampu membuktikan segalanya) tidak membatalkan bukti?

3. Saya menemukan itu mungkin, tetapi tidak bisa benar-benar mengatakan dengan pasti, bahwa OP berpikir bahwa hukum negara-negara menengah yang dikecualikan menyatakan bahwa tidak mungkin untuk dan untuk dipegang (dengan rumus: ). Ini tidak dikecualikan tengah. Kadang-kadang disebut hukum non-kontradiksi, dan itu bisa dibuktikan (tanpa tengah dikecualikan).¬ $p$$\lnot p$$\lnot (p \land \lnot p)$

4. OP berpendapat bahwa "mustahil untuk secara langsung membuktikan bahwa ada sesuatu yang salah tanpa mengeluarkan tengah". Dia membingungkan bukti negasi dan bukti oleh kontradiksi, yang bukan hal yang sama . Posting yang ditautkan memiliki banyak contoh bukti konstruktif bahwa ada sesuatu yang salah. Bahkan, sebagian besar bukti bahwa ada sesuatu yang salah yang ditemukan dalam buku pelajaran sudah konstruktif.

5. Ketidaklengkapan Gödel diseret karena suatu alasan yang saya bisa membedakan. Ketidaklengkapan Gödel memberikan kalimat sedemikian sehingga maupun tidak dapat dibuktikan. Ini tidak menyiratkan bahwa tidak dapat dibuktikan (itu, dengan aplikasi sederhana dari tengah yang dikecualikan)! Juga tidak menyiratkan bahwa memegang, atau semacamnya. Jadi bagaimana ketidaklengkapan Gödel relevan di sini?G ¬ G G ∨ ¬ G $G$$G$$\lnot G$$G \lor \lnot G$$\lnot G \land \lnot\lnot G$

PS Saya minta maaf untuk versi tambahan sebelumnya yang kasar.

Saya pikir pertanyaan Anda bermuara pada "ketika melakukan verifikasi formal dengan semacam logika formal, jenis jaminan apa yang saya miliki bahwa logika konsisten?". Dan jawabannya adalah: tidak ada. Itu sesuatu yang harus Anda asumsikan. Verifikasi formal tidak menghilangkan semua asumsi; itu hanya membantu Anda menjadi lebih jelas tentang apa yang Anda asumsikan, dan mungkin membantu Anda memastikan bahwa Anda mulai dari asumsi yang tampaknya masuk akal.

Jika Anda bekerja dalam logika standar, umumnya kebanyakan orang senang menganggap logika itu konsisten, bahkan jika mereka tidak memiliki bukti fakta itu. Memang benar bahwa suatu hari kita mungkin menemukan bahwa logika itu sebenarnya tidak konsisten ... tetapi kebanyakan orang percaya ini sangat tidak mungkin.

Dalam beberapa kasus seseorang dapat membuktikan bahwa suatu logika konsisten, tetapi itu memerlukan penggunaan logika lain yang lebih kuat, di mana kita harus mengasumsikan bahwa logika kedua konsisten, sehingga kita masih harus membuat beberapa asumsi (menganggap bahwa beberapa logika konsisten ). Ini dapat diambil sebagai bukti bahwa logika pertama cenderung konsisten, jika Anda percaya bahwa logika kedua cenderung konsisten, tetapi alasannya harus keluar dari suatu tempat - ada beberapa hal yang harus kita asumsikan, dan tidak dapat membuktikan.

Lihat, misalnya, masalah kedua Hilbert dan diskusi ini tentang konsistensi ZFC (dan ini dan ini dan ini dan mungkin banyak lagi).

Ada banyak poin filosofis menarik yang disentuh posting Anda.

Konsistensi logika Boolean

Masalah konsistensi teori bukti dalam logika klasik tidak sedahsyat seperti yang Anda bayangkan. Itu pada dasarnya mengurangi sebagai berikut:

Kita dapat mendefinisikan logika Boolean sebagai kumpulan fungsi operasi logis pada nilai kebenaran 1dan 0. Tapi bagaimana kita tahu itu 0≠1?

(perhatikan bahwa saya hanya menggunakan 0dan 1sebagai simbol abstrak untuk dua nilai kebenaran; khususnya, saya tidak mengasumsikan gagasan bilangan bulat di sini)

Kami, tentu saja, tidak tahu itu 0dan 1berbeda. Tetapi logika Boolean sangat sederhana sehingga menolak kemungkinan ini adalah tingkat skeptisisme yang ekstrem .

Tetapi logika proposisional klasik mengurangi hal ini. Ingatlah bahwa kita dapat menetapkan nilai Boolean ke proposisi atom dengan cara apa pun, dan ini meluas hingga menetapkan nilai untuk semua proposisi yang dapat dibangun dari proposisi atom.

Pernyataan "dari PAnda dapat menyimpulkan Q" secara harfiah hanya hubungan pemesanan; itu berarti hal yang sama dengan klaim yang " v(P) ≤ v(Q)berlaku untuk setiap fungsi yang vmemberikan nilai kebenaran pada proposisi atom".

Aturan inferensi untuk logika proposisional adalah properti untuk bekerja dengan pemesanan ≤. Bukti oleh kontradiksi, khususnya, adalah pengamatan bahwa jika P ≤ 0, maka P = 0.

Dan kembali ke masalah Anda ... jika kami tahu keduanya P ≤ 0dan ¬P ≤ 0, setelah memasukkan nilai-nilai kebenaran, kami akhirnya akan menyimpulkan bahwa 0=1; benar dan salah itu berarti hal yang sama.

Jadi, jika Anda memiliki keyakinan bahwa "benar" dan "salah" memiliki arti yang berbeda, maka Anda harus memiliki kepercayaan yang sama dalam konsistensi logika Boolean.

Buktikan dengan kontradiksi dalam logika intuitionistic

Orang harus memperhatikan dengan seksama bahwa bukti oleh kontradiksi lebih baik diformulasikan sebagai:

• Jika Anda dapat menurunkan kontradiksi P, maka simpulkan¬P

Bahkan, orang mungkin langsung mendefinisikan negasi sebagai penghubung dengan properti ini. Misalnya dalam aljabar Heyting Anda biasanya akan melihat ¬P didefinisikan berarti P → 0.

Perhatikan, khususnya, kasing khusus

• Jika Anda dapat menurunkan kontradiksi ¬P, maka simpulkan¬¬P

Apa yang Anda gambarkan sebagai "bukti oleh kontradiksi" berasal dari mengidentifikasi ¬¬Pdengan P. Logika intuitionistic tidak menganggap ini setara.

Konsistensi sebagai kontrak formal

Ada lebih banyak formalisme komputasi untuk penyandian logika; lihat kalkulus lambda yang diketik secara sederhana, tipe dependen, dan khususnya paradigma "proposisi sebagai tipe".

Tanpa merinci, kontradiksi pada dasarnya diperlakukan sebagai kontrak formal. Ada tipe, yang akan saya panggil 0, dan ada kontrak "fungsi-fungsi ini tidak dapat digunakan untuk membangun elemen tipe 0".

Jika sistem seperti itu sangat berani untuk memungkinkan Anda membangun fungsi T → 0, maka jika itu benar-benar berpegang pada kontrak, itu berarti sama mustahil untuk membangun objek jenis apa pun T. Ini adalah sudut pandang komputasi tentang apa arti pembuktian dengan kontradiksi.

Pada akhirnya ini tidak jauh berbeda dari, misalnya, fungsi C yang mengembalikan pointer yang menjanjikan untuk tidak mengembalikan null pointer, atau fungsi C ++ yang menjanjikan untuk tidak membuang pengecualian.

Dan berputar penuh, kembali ke logika klasik, itulah yang sebenarnya kami lakukan.

Kami ditawari kontrak formal, seperti "dari aksioma Peano, aturan inferensi tidak akan memungkinkan Anda memperoleh kontradiksi". Jika kontrak ini benar-benar ditegakkan, maka jika Anda dapat menunjukkan yang ¬Pmenyiratkan kontradiksi, maka Ptidak dapat juga menyiratkan kontradiksi.

Dan jika mungkin untuk melanggar kontrak, kami hanya akan mengatakan "aksioma Peano tidak konsisten".

Ketika digunakan untuk menjamin kebenaran pernyataan formal, semua bukti secara implisit mengasumsikan konsistensi sistem yang menjadi dasar mereka. Ini karena jika sistem tidak konsisten, keseluruhan sistem rusak, dan semua pekerjaan yang kami lakukan dalam sistem itu pada dasarnya sampah.

Karena kita tidak dapat membuktikan bahwa sistem apa pun (atau setidaknya sistem kompleks) konsisten dalam batas-batas sistem itu, kita harus menganggapnya sebagai kebenaran empiris daripada kebenaran yang secara formal dapat dibuktikan. Pada dasarnya, jika matematikawan menghabiskan waktu yang lama bekerja dengan sistem formal dan tidak ada kontradiksi yang pernah ditemukan, maka itu adalah bukti empiris yang mendukung konsistensi sistem. Selain itu, kami dapat menggunakan sistem yang lebih kuat untuk membuktikan konsistensi sistem yang sedang kami tangani (walaupun konsistensi sistem yang lebih kuat ini masih bersifat empiris - tanggung jawab berhenti di suatu tempat).

Pada intinya, situasi dalam matematika identik dengan sains. Kami membangun matematika berdasarkan teori yang tampaknya benar berdasarkan semua informasi yang kami miliki tentang teori-teori itu, dan seperti dalam sains, Anda tidak dapat membuktikan bahwa sebuah teori itu benar; Anda hanya bisa membuktikannya salah.

$S$

Tidak peduli sistem aksioma mana yang kita pilih untuk mendasarkan matematika, selalu ada bahaya bahwa kita akan menemukan kontradiksi dalam sistem itu. Inilah sebabnya mengapa ahli matematika tidak memperkenalkan aksioma baru ke dalam matematika: setiap aksioma baru memiliki peluang tidak sesuai dengan aksioma yang sudah digunakan, dan semua pekerjaan yang menggunakan aksioma baru harus sepenuhnya dievaluasi kembali.

Tambahan: Ketika saya berbicara tentang pernyataan yang benar untuk sistem yang diberikan, saya maksudkan bahwa itu tidak dapat dibantah dalam sistem itu jika sistem itu konsisten.