Sebuah posting blog teka - teki baru - baru ini tentang menemukan tiga yang berjarak sama rata membawa saya ke pertanyaan stackoverflow dengan jawaban teratas yang mengklaim melakukannya dalam waktu O (n lg n). Bagian yang menarik adalah solusinya melibatkan mengkuadratkan polinomial, mereferensikan makalah yang menjelaskan bagaimana melakukannya dalam waktu O (n lg n) .
Sekarang, mengalikan polinomial bisa dibilang sama dengan mengalikan angka. Satu-satunya perbedaan nyata adalah kurangnya membawa. Tapi ... membawa juga dapat dilakukan dalam waktu O (n lg n). Sebagai contoh:
var value = 100; // = 0b1100100
var inputBitCount = value.BitCount(); // 7 (because 2^7 > 100 >= 2^6)
var n = inputBitCount * 2; // 14
var lgn = n.BitCount(); // 4 (because 2^4 > 14 => 2^3)
var c = lgn + 1; //5; enough space for 2n carries without overflowing
// do apparently O(n log n) polynomial multiplication
var p = ToPolynomialWhereBitsAreCoefficients(value); // x^6 + x^5 + x^2
var p2 = SquarePolynomialInNLogNUsingFFT(p); // x^12 + 2x^11 + 2x^10 + x^8 + 2x^7 + x^4
var s = CoefficientsOfPolynomial(p2); // [0,0,0,0,1,0,0,2,1,0,2,2,1]
// note: s takes O(n lg n) space to store (each value requires at most c-1 bits)
// propagate carries in O(n c) = O(n lg n) time
for (var i = 0; i < n; i++)
for (var j = 1; j < c; j++)
if (s[i].Bit(j))
s[i + j].IncrementInPlace();
// extract bits of result (in little endian order)
var r = new bool[n];
for (var i = 0; i < n; i++)
r[i] = s[i].Bit(0);
// r encodes 0b10011100010000 = 10000
Jadi pertanyaan saya adalah ini: di mana kesalahannya, di sini? Mengalikan angka dalam O (n lg n) adalah masalah terbuka raksasa dalam ilmu komputer, dan saya benar-benar ragu jawabannya akan sesederhana ini.
- Apakah membawa salah, atau tidak O (n lg n)? Saya telah bekerja bahwa lg n +1 bit per nilai sudah cukup untuk melacak membawa, dan algoritma ini sangat sederhana saya akan terkejut jika itu salah. Perhatikan bahwa, meskipun kenaikan individual dapat memakan waktu O (lg n), biaya agregat untuk x peningkatan adalah O (x).
- Apakah algoritma multiplikasi polinomial dari kertas salah, atau memiliki kondisi yang saya langgar? Makalah ini menggunakan transformasi fourier cepat alih-alih transformasi angka teoretis, yang bisa menjadi masalah.
- Sudahkah banyak orang pintar melewatkan varian yang jelas dari algoritma Schönhage-Strassen selama 40 tahun? Ini tampaknya paling tidak mungkin.
Saya sebenarnya sudah menulis kode untuk mengimplementasikan ini, kecuali untuk perkalian polinomial yang efisien (saya belum mengerti angka yang bertransformasi teoretis dengan cukup baik). Pengujian acak muncul untuk mengkonfirmasi algoritma yang benar, sehingga masalah ini kemungkinan dalam analisis kompleksitas waktu.
x^10 + 2x^8? x ^ 10 hanya sekali (x ^ 5 * x ^ 5), dan x ^ 8 dua kali (x ^ 6 * x ^ 2 + x ^ 2 * x ^ 6)