Apa sebenarnya perbedaan semantik antara kategori dan set?

11

Dalam pertanyaan ini, saya bertanya apa perbedaan antara set dan tipe . Jawaban ini benar-benar mengklarifikasi (misalnya @AndrejBauer), jadi dalam kehausan saya akan pengetahuan, saya tunduk pada godaan untuk menanyakan hal yang sama tentang kategori:

Setiap kali saya membaca tentang teori kategori (yang diakui agak informal), saya tidak dapat benar-benar memahami perbedaannya dari teori himpunan, secara konkret .

Jadi dengan cara yang paling konkrit mungkin, apa sebenarnya implikasinya tentang $x$ untuk mengatakan bahwa ia berada dalam kategori , dibandingkan dengan mengatakan bahwa ? (mis. apa perbedaan antara mengatakan adalah grup, dibandingkan dengan mengatakan bahwa ada dalam Kategori ?). $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(Anda dapat memilih kategori dan set apa saja yang menjadikan perbandingan paling mengklarifikasi).

sets category-theory

— pengguna56834
sumber

Saya tidak yakin pertanyaan ini terbentuk dengan baik. Pertama Anda bertanya apa perbedaannya antara mengatakan bahwa 'x berada dalam kategori C' vs 'x adalah dalam himpunan S'. Tetapi kemudian Anda memberikan contoh dengan menanyakan 'x ada dalam kategori Grp' vs 'x adalah grup'. Apa? Itu bukan contoh pertanyaan Anda. Contoh dari pertanyaan Anda adalah menanyakan apa perbedaan antara 'x dalam kategori Grp' dan 'x dalam himpunan semua kelompok'. Namun meskipun begitu, sebenarnya bukan itu yang Anda tanyakan jika Anda bertanya apa perbedaan antara kategori dan set.

— Miles Rout

11

Secara singkat, teori himpunan adalah tentang keanggotaan sedangkan teori kategori adalah tentang transformasi pelestarian struktur.

Teori himpunan hanya tentang keanggotaan (yaitu menjadi elemen) dan apa yang dapat dinyatakan dalam hal itu (misalnya menjadi himpunan bagian). Itu tidak berkaitan dengan sifat-sifat elemen atau set lainnya.

Teori kategori adalah cara untuk berbicara tentang struktur bagaimana matematika dari jenis tertentu ¹ dapat diubah menjadi satu sama lain ² dengan fungsi yang melestarikan beberapa aspek struktur mereka; ini menyediakan bahasa yang seragam untuk berbicara berbagai macam tipe ¹ dari struktur matematika (kelompok, automata, ruang vektor, set, ruang topologi, ... dan bahkan kategori!) dan pemetaan dalam tipe ^{1 tersebut} . Meskipun memformalkan sifat-sifat pemetaan di antara struktur (benar-benar: antara set di mana struktur dikenakan), itu hanya berurusan dengan sifat abstrak peta dan struktur, menyebutnya sebagai morfisme (atau panah ) dan objek; elemen-elemen dari himpunan terstruktur semacam itu bukanlah perhatian teori kategori, dan juga tidak ada struktur pada himpunan tersebut. Anda bertanya " apa itu teori "; ini adalah teori pemetaan struktur yang melestarikan objek matematika dari tipe ^{1 yang} arbitrer .

Teori Abstrak kategori ³ , bagaimanapun, seperti yang baru saja dinyatakan, sama sekali mengabaikan set, operasi, hubungan dan aksioma yang menentukan struktur objek yang dimaksud, dan hanya menyediakan bahasa untuk berbicara tentang bagaimana pemetaan yang dilakukan mempertahankan beberapa struktur seperti itu. berperilaku: tanpa mengetahui struktur apa yang dipertahankan, kita tahu bahwa kombinasi dari dua peta tersebut juga mempertahankan struktur. Untuk alasan itu, aksioma teori kategori mensyaratkan bahwa ada undang-undang komposisi asosiatif tentang morfisme dan, juga, bahwa ada morfisme identitas dari setiap objek ke dirinya sendiri. Tapi itu tidak berasumsi bahwa morfisme sebenarnya adalah fungsi antara set, hanya saja mereka berperilaku seperti mereka.

Untuk dikerjakan: Kategori beton memodelkan gagasan penambahan struktur ke objek 'kategori dasar'; ketika ini kita dapat memiliki situasi di mana kita menambahkan struktur seperti operasi grup ke set. Dalam hal ini orang dapat mengatakan lebih banyak tentang bagaimana struktur ditambahkan dalam hal kategori dasar tertentu. $\mathsf{Set}$

Adapun implikasi dari Anda formulasi , mengatakan bahwa “ adalah kelompok”, bahwa “ merupakan elemen dari himpunan kelompok” (sebenarnya kelas yang tepat ) atau bahwa “ adalah (obyek) di ” ( atau “ -object”) berarti hal yang sama secara logis, tetapi berbicara tentang kategori menyarankan Anda tertarik homomorphisms kelompok (yang morphisms di ) dan mungkin dalam apa yang mereka memiliki kesamaan dengan morphisms lainnya. Di sisi lain, mengatakan $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ Apakah sebuah grup mungkin menyarankan Anda tertarik pada struktur grup (operasi penggandaannya) itu sendiri atau mungkin dalam bagaimana grup tersebut bertindak pada beberapa objek matematika lainnya. Anda tidak akan mungkin berbicara tentang termasuk dalam kelompok, meskipun Anda dapat dengan mudah menulis untuk beberapa kelompok kelompok tertentu yang Anda minati. $G$ $G ∈ S$ $S$

Lihat juga

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- Khususnya /math/272875/concrete-category-and-abstract-category#1774821
Kategori Abstrak dan Beton: Kegembiraan Kucing oleh Adámek, Herrlich and Strecker
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{Di sini dan passim saya tidak merujuk pada mengetik dalam arti teori jenis, melainkan set properti yang diperlukan dari objek / struktur matematika, yaitu seperangkat aksioma yang mereka puaskan. Biasanya ini menggambarkan perilaku beberapa operasi atau hubungan atas unsur-unsur set dianggap membawa struktur, meskipun dalam kasus set sendiri ( ) tidak ada struktur di luar set sendiri. Dalam kasus apa pun, seperti yang dikatakan di atas, teori kategori mengabaikan rincian struktur ini. $\mathsf{Set}$}

² _{Saya mungkin harus mengatakan semua atau sebagian dari satu sama lain : satu memungkinkan homomorfisme dari (bilangan bulat) ke (rasional) yang diberikan oleh $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ . $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{Tanpa kualifikasi, ' kategori ' biasanya berarti 'kategori abstrak', diperkenalkan, sejauh yang saya bisa lihat, pada tahun 1945 dan dikembangkan pada tahun 1960-an sementara kategori Beton tampaknya muncul pada tahun 1970-an.}

— PJTraill
sumber

Saya tidak yakin apakah itu retorika, tetapi pasti ada kelas kelompok yang tepat. Sebagai contoh, setiap set memunculkan grup sepele pada set tunggal yang berisi set itu. Anda juga dapat menghasilkan kelas contoh non-isomorfik yang tepat.

— Derek Elkins meninggalkan SE

Terima kasih. Ketika Anda mengatakan: "itu adalah teori pemetaan struktur-melestarikan objek matematika dari jenis yang sewenang-wenang ", apakah maksud Anda "tipe" dalam arti teori tipe, atau lebih informal?

— user56834

@ Programmer2134: Maaf jika jenisnya membingungkan (saya memang heran); Saya tidak bermaksud merujuk pada teori tipe (yang saya tahu sedikit), tetapi lebih berarti objek / struktur matematika dengan seperangkat properti tertentu (yaitu memuaskan aksioma tertentu) dengan objek / struktur matematika dari tipe tertentu .

— PJTraill

Itu mengklarifikasi. Jadi, apakah teori kategori juga secara khusus mengasumsikan bahwa ada aksioma-aksioma semacam itu, dan bahwa objek-objek ini semuanya memenuhi aksioma-aksioma itu, atau apakah itu hanya kriteria meta yang kita gunakan untuk mendefinisikan kategori (yaitu meta ke kerangka teori kategori)?

— user56834

@ Programmer2134: Tidak, teori kategori benar-benar mengabaikan aksioma, dan hanya menyediakan bahasa untuk berbicara tentang pemetaan yang melestarikan beberapa struktur seperti itu: tanpa mengetahui struktur apa yang dipertahankan, kita tahu bahwa kombinasi dua peta tersebut juga mempertahankan struktur. Untuk alasan itu, aksioma teori kategori mensyaratkan bahwa ada undang-undang komposisi asosiatif tentang morfisme dan, juga, bahwa ada morfisme identitas dari setiap objek ke dirinya sendiri. Tapi itu tidak berasumsi bahwa morfisme sebenarnya adalah fungsi antara set, hanya saja mereka berperilaku seperti mereka.

— PJTraill

5

Teori kategori dalam beberapa hal adalah generalisasi teori himpunan: kategori dapat menjadi kategori himpunan, atau bisa juga sesuatu yang lain. Jadi, Anda belajar lebih sedikit jika Anda mengetahui bahwa adalah objek dalam beberapa kategori yang tidak ditentukan daripada jika Anda mengetahui bahwa adalah himpunan (karena dalam kasus terakhir ini berarti adalah objek dalam kategori set khusus). Jika Anda mengetahui bahwa adalah obyek dalam tertentu kategori tertentu (selain kategori set), apa yang Anda pelajari berbeda dari belajar yang adalah satu set (yaitu, sebuah objek dalam kategori set); tidak menyiratkan yang lain. $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

Tidak ada perbedaan antara mengatakan bahwa adalah grup vs mengatakan bahwa adalah objek dalam kategori Grp. Kedua pernyataan itu setara. $x$ $x$

Catatan: kami tidak mengatakan bahwa berada dalam kategori Grp; kita mengatakan bahwa adalah objek dalam kategori Grp. Kategori memiliki objek dan panah. Anda perlu menentukan yang Anda bicarakan. $x$ $x$

— DW
sumber

Jadi izinkan saya membandingkan kategori dengan set dan tipe seperti yang dilakukan @AndrejBrauer dalam jawabannya untuk pertanyaan saya yang lain. Suatu himpunan memformalkan gagasan kumpulan benda. Suatu tipe memformalkan gagasan tentang konstruksi objek. Gagasan apa yang diformalkan "Kategori"? Apa matematika proses / struktur adalah teori kategori teori dari ?

— user56834

"Jadi, Anda belajar lebih sedikit jika Anda mengetahui bahwa

adalah objek dalam beberapa kategori yang tidak ditentukan daripada jika Anda belajar bahwa

adalah himpunan ". Jika Anda mengganti "is a set" dengan "adalah anggota dari beberapa set yang tidak ditentukan", bagaimana pernyataan itu akan berubah? Apakah kita memaksakan setiap pembatasan

dengan mengatakan itu adalah obyek dari kategori yang tidak ditentukan? Tentunya kita bisa membentuk kategori di mana

adalah satu-satunya objek?

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— user56834

@ Programmer2134, itu poin yang bagus. Masuk akal. Saya menerima poin Anda.

— DW

4

Poin lebih lanjut tentang penjelasan DW

$x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

Saya ingin membuat pernyataan yang lebih kuat:

Suatu konsep ditentukan oleh kategorinya

$M$ $M$ $M_0$

$M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

$M_0$ $M(A,B)$

Setelah Anda memilikinya, kategori tersebut memberi Anda banyak properti standar konsep. Contoh berkisar dari

"Yang contohnya pada dasarnya sama --- isomorfisme",
"Yang mana dari dua contoh ini lebih dan yang kurang --- pasangan bagian-retraksi",
"Berapa banyak elemen dasar di dalam instance ini? --- homset dari objek terminal"

dan seterusnya.

Adapun pertanyaan yang Anda ajukan dalam komentar

Proses / struktur matematika apa yang disebut teori kategori?

$\mathsf{Cat}$

— Apiwat Chantawibul
sumber

Hmm. Saya tidak mengerti persis bagaimana jika kita tahu kategori struktur, kita tahu segalanya tentang struktur itu. Kita tidak tahu aksioma mana yang memuaskan struktur kita?

— user56834

@ Programmer2134 Memikirkan kembali teori himpunan oleh Tom Leinster (yang merupakan ringkasan karya Lawvere) adalah contoh yang baik. Karya ini mendefinisikan teori himpunan itu sendiri dengan mendefinisikan properti (morfisme) kategori set (tanpa mengakses 'di dalam' objek apa pun untuk mengakses asumsi yang sudah ada sebelumnya yang mungkin kita miliki tentang set.)

— Apiwat Chantawibul

Jadi Anda mengatakan bahwa tidak ada informasi apa pun yang hilang tentang teori himpunan dengan hanya mempertimbangkan kategori himpunan, sambil melupakan aksioma?

— user56834

@ Programmer2134 Ya, sebenarnya, ini lebih seperti aksioma yang mendefinisikan teori himpunan ZFC diterjemahkan ke dalam sifat morfisme murni. Jadi kategori itu, yang kami tegaskan memiliki beberapa sifat pada morfisme, mendefinisikan teori himpunan.

— Apiwat Chantawibul

Apakah Anda tahu teks yang secara khusus menjelaskan poin ini tentang teori kategori dengan jelas?

— user56834

1

Set

x \in SEBUAH

$x\in A$

$f$

(x, y) \in f dan (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

Filsafat. Set memiliki struktur bagian dalam - mereka sepenuhnya ditentukan oleh elemen-elemennya.

Ucapan. Sistem aksiomatik yang banyak digunakan oleh teori set adalah ZFC. Kekuatannya adalah kesederhanaan: hanya ada set dan hubungan keanggotaan. Di sisi lain banyak ahli matematika merasa bahwa ini mengarah pada konsep himpunan yang menyimpang dari pemahaman dan penggunaan himpunan mereka (bandingkan di bawah Leinster ). Faktanya, sebagian besar ahli matematika (kecuali ahli teori himpunan) tampaknya tidak menggunakan aksioma ZFC. Namun, set tidak selalu merujuk ke ZFC (lihat kategori dan ETCS di bawah ).

Kategori

SEBUAH \to B

$A\rightarrow B$

$x\in A$ $\{y\})$

x : 1 \to SEBUAH

$x:1\rightarrow A$

Filsafat. Objek kategori tidak memiliki struktur dalam apriori. Mereka hanya ditandai oleh hubungan mereka (morfisme) dengan objek lain.

Ucapan. Konsep dasar kategori adalah fungsi dan ini bertepatan dengan penggunaan set oleh sebagian besar ahli matematika. Karenanya, Anda mungkin melihat kategori sebagai generalisasi konseptual dari cara yang (sebagian besar) matematikawan dari bidang yang sangat berbeda menggunakan set dalam pekerjaan sehari-hari mereka. Terlepas dari kategori (dan toposa) sebagai generalisasi Anda mungkin telah melihat sistem aksiomatik ETCS yang merupakan aksioma set (bandingkan di bawah Leinster dan Lawvere ).

Pertanyaan. Apa perbedaan antara mengatakan x adalah grup, dibandingkan dengan mengatakan bahwa x ada dalam Kategori Grp?

$x$ $x$

Kritik

Dalam kasus ZFC dan ETCS pendekatan ini dapat diterjemahkan satu sama lain, meskipun ETCS lebih lemah daripada ZFC tetapi (tampaknya) mencakup sebagian besar matematika (lihat MathStackExchange dan Leinster). Pada prinsipnya (menggunakan ekstensi ETCS) Anda dapat membuktikan hasil yang sama dengan kedua pendekatan. Jadi filosofi yang disebutkan di atas dari kedua konsep tidak mengklaim perbedaan mendasar dalam apa yang dapat Anda ungkapkan atau hasil apa yang dapat Anda buktikan.

Ekspresi yang ditetapkan dan keanggotaan dalam ZFC adalah konsep abstrak seperti konsep kategori atau sistem aksiomatik lainnya dan dapat berarti apa saja. Jadi dari sudut pandang formal ini, untuk mengklaim, bahwa ZFC berkaitan dengan struktur bagian dalam set sedangkan kategori berurusan dengan hubungan luar objek satu sama lain tampaknya tidak tepat. Di sisi lain, ini tampaknya menjadi filosofi atau intuisi dari teori-teori tentang

Namun dalam praktiknya Anda akan lebih memilih Pendekatan tertentu untuk misalnya demi kejelasan atau kesederhanaan atau karena beberapa konsep atau koneksi ke daerah lain berkembang lebih alami daripada di tempat lain.

Referensi

Teori kategori untuk ilmuwan Spivak

Leinster. Memikirkan ulang teori himpunan

Lawvere. Sebuah teori dasar dari kategori set

Teori MathStackExchange.Category tanpa set

— FWE
sumber