Bahasa yang memuaskan lemma pemompaan tetapi tidak teratur?

Dengan bahasa teratur $L$, maka mudah untuk membuktikan bahwa ada konstanta sedemikian rupa sehingga , dengan terdapat string , dan sedemikian rupa sehingga dan , dan untuk semua itu adalahσ ∈ L | σ | ≥ N a ß gamma | α β | ≤ N | β | ≠ ϵ k α β k γ ∈ $N$$\sigma \in L$$\lvert \sigma \rvert \ge N$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lvert \alpha \beta \rvert \le N$$\lvert \beta \rvert \ne \epsilon$$k$$\alpha \beta^k \gamma \in L$. Secara luas dinyatakan bahwa kebalikannya tidak benar, tetapi saya belum melihat contoh yang jelas. Ada saran? Jelas bukti bahwa bahasa yang menyinggung itu tidak biasa harus menggunakan metode yang lebih kuat daripada tipikal "tidak memuaskan lemma pemompaan". Saya akan tertarik pada contoh-contoh sederhana, untuk disajikan dalam kelas bahasa pengantar formal.

Bahasa tampaknya sederhana. Bagian kedua teratur (dan bisa dipompa). Bagian pertama tidak teratur, tetapi dapat dipompa "ke" bagian kedua dengan memilih untuk memompa.$\{ \$ a^nb^n \mid n \ge 1 \} \cup \{ \$^kw \mid k\neq 1, w\in \{a,b\}^* \}$$\$$

(ditambahkan) Tentu saja, ini dapat digeneralisasi ke untuk setiap . Kadang-kadang formulasi dalam gaya "jika ... lalu ...": jika dimulai dengan satu maka itu adalah bentuk. Itu pribadi saya temukan kurang intuitif.$\$L \cup \{ \$^k \mid k\neq 1 \} \cdot \{a,b\}^*$ $L\subseteq \{a,b\}^*$$w$$\$$

Seperti dicatat oleh @vonbrand bagian (mungkin) non-reguler dari bahasa diisolasi dengan berpotongan dengan . Ini dapat diuji secara terpisah menggunakan lemma pemompaan jika diperlukan.$\$\{a,b\}^*$