Varian dari fungsi berang-berang yang sibuk

Membaca pertanyaan ini, " Masalah RE yang tidak dapat dipastikan tetapi tidak menyelesaikan Turing ", bahasa berikut muncul di benak saya:

Jika adalah fungsi berang-berang yang sibuk (skor maksimum yang dapat dicapai di antara semua penghentian 2-simbol n-state mesin Turing dari tipe yang dijelaskan di atas, ketika dimulai pada pita kosong), tentukan fungsinya: $\Sigma(\cdot)$

B B (⟨ M ⟩) = {\begin{cases} 1 & ⟨ M ⟩ computes Σ (\cdot) \\ 0 & otherwise \end{cases}

$BB(\langle M \rangle) = \begin{cases} 1 & \text{$\langle M \rangle$ computes $\Sigma(\cdot)$}\\ 0 & \text{ otherwise} \end{cases}$

Sekarang tentukan bahasanya:

$L = \{ \langle M \rangle \; | \; \langle M \rangle \mbox{ halts and } BB(\langle M \rangle) = 0 \}$

Apakah $L$ secara berulang dihitung? (itu harus kembali: hanya mensimulasikan dalam M paralel dengan semua TM dengan panjang yang sama, dan jika $M$ berhenti dan lain $M'$ berhenti dengan skor yang lebih tinggi tambahkan M ke enumerasi).

Bisakah kita mengurangi masalah penghentian menjadi $L$ ? (tampaknya itu tidak bisa "menangkap" penghentian berang-berang yang sibuk)

computability turing-machines

— Vor
sumber

Apakahjumlah negara bagian?

| ⟨ M ⟩ |

$|\langle M \rangle|$

— Pål GD

Kapan Anda akan menghitung yang tidak berhenti ke ? tidak bisa menjadi RE kecuali jika Anda menghitung semua anggotanya, dan prosedur yang Anda jelaskan hanya menyebutkan yang benar-benar berhenti.

M

$M$

L

$L$

L

$L$

— Steven Stadnicki

@ PålGD: ya itu adalah jumlah negara bagian (negara yang berhenti dikecualikan)

— Vor

@StevenStadnicki: Secara implisit saya berasumsi bahwa hanya berisi mesin yang berhenti ... mungkin saya harus mengklarifikasi dalam pertanyaan (biarkan saya berpikir sedikit, mungkin membuat pertanyaan itu sepele).

L

$L$

— Vor

@ Kaveh Ini bahkan bukan masalah janji - Anda bisa mendefinisikan (seperti yang saya yakini sebagai tujuan OP) sebagai .

L

$L$

L = {⟨ M ⟩ | M halts \land B B (⟨ M ⟩) = 0}

$L=\{\langle M\rangle | M\ \text{halts} \wedge BB(\langle M\rangle) = 0\}$

— Steven Stadnicki

Jawaban:

Saya tidak percaya saya tidak melihat ini sebelumnya - tapi ya, dengan oracle untuk Anda dapat memecahkan masalah yang tersendat-sendat. Jelas sebuah oracle untuk memberi kita 'secara rekursif' semua mesin penghenti Beaver yang tidak sibuk, jadi pertanyaannya adalah 'bisakah kita mencari tahu secara rekursif dalam apa berang-berang yang sibuk itu?'. Tentukan sebagai fungsi hitungan 'berang tersibuk kedua'; yaitu, skor tertinggi kedua yang dapat dicapai di antara semua penghentian TM dua simbol . Kuncinya di sini adalah bahwa ada fungsi rekursif sehingga (hampir pasti bahwa $L$ $L$ $L$ $\Sigma_2(n)$ $n$ $f()$ $\Sigma(n)\leq\Sigma_2(f(n))$ $f(n)=n+1$ akan melakukan trik, pada kenyataannya, tetapi itu membutuhkan mengetahui bahwa fungsi BB benar-benar meningkat): diberi mesin ukuran yang mencetak 1 pada kasetnya dan kemudian berhenti, ada beberapa dan dua mesin masing-masing berukuran yang mencetak tepat 1s dan persis 1s, masing-masing, pada kaset mereka - dan ini berlaku untuk mesin 'sibuk berang-berang' meskipun kami tidak tahu secara eksplisit . Ini berarti bahwa memiliki fungsi terikat pada 'berang-berang sibuk kedua' untuk memberikan batas untuk fungsi berang-berang sibuk pada $M$ $n$ $\Sigma(M)$ $c\gt 1$ $\leq cn$ $\Sigma(M)$ $\Sigma(M)+1$ $M$ $M$ $f(n)$ $n$ ; tetapi kemudian memiliki ini, mudah untuk memecahkan masalah penghentian untuk TM ukuran - jika maka katakan bahwa berhenti; jika tidak, cari mesin yang paling lama beroperasi ukuran di (yang dapat dilakukan secara rekursif karena hanya ada banyak mesin ukuran ) dan mensimulasikan untuk langkah-langkah yang dibutuhkan mesin untuk berhenti. Jika tidak berhenti dalam waktu itu maka tidak mungkin berhenti. $M$ $n$ $\langle M\rangle\in L$ $M$ $f(n)$ $L$ $\leq f(n)$ $M$ $M$ $M$

— Steven Stadnicki
sumber

Terima kasih; terinspirasi oleh jawaban Anda, saya menemukan cepat (sepele) -: pengurangan langsung dari masalah berhenti dalam jawaban yang terpisah.

— Vor

Ini adalah versi ulang dari jawaban Steven yang baik, dengan pengurangan eksplisit dari masalah Berhenti.

Diberikan build yang menjalankan on dan jika berhenti di sebelah kanan rekaman, tulis 0 dan berhenti. $\langle M \rangle, w$ $M'$ $M$ $w$

Jika berhenti, karena ada TM setara dengan ukuran yang sama yang menulis 1 dan berhenti; sehingga kita dapat menggunakan penentuan untuk untuk memeriksa apakah perhentian di ( perhentian di IFF ) $M'$ $BB(M')=0$ $L$ $M$ $w$ $M$ $w$ $M' \in L$

... ternyata pertanyaannya memang sepele :-)

— Vor
sumber