Apakah

12

Jika $A^2$ teratur, apakah itu mengikuti bahwa $A$ teratur?

Upaya saya pada bukti:

Ya, untuk kontradiksi anggaplah bahwa $A$ tidak teratur. Kemudian $A^2 = A \cdot A$ .

Karena penggabungan dua bahasa non-reguler adalah tidak biasa, $A^2$ tidak dapat teratur. Ini bertentangan dengan asumsi kami. Jadi $A$ biasa. Jadi jika $A^2$ teratur maka $A$ adalah reguler.

Apakah buktinya benar?

Bisakah kita menggeneralisasi ini menjadi $A^3$ , $A^4$ , dll ...? Dan juga jika $A^*$ biasa maka $A$ tidak perlu biasa?

Contoh: $A=\lbrace 1^{2^i} \mid i \geq 0\rbrace$ tidak teratur tetapi $A^*$ teratur.

formal-languages regular-languages closure-properties

— akshay
sumber

2

Bukti pertama membuat lompatan besar. Apa bukti Anda bahwa

A

$A$ tidak berimplikasi

A^{2}

$A^2$ tidak teratur? Membuktikan bahwa hal itu mungkin akan mengarahkan Anda pada intuisi untuk membantu menjawab sisa pertanyaan, jika memang benar.

— Dave Clarke

@DaveClarke Mengedit buktinya.

— akshay

3

Bagaimana Anda bisa mengeja "Apakah saya Benar?" cara itu sangat menarik. Sebagai saran umum: ketika ratusan orang membaca apa yang Anda tulis, kesopanan umum menuntut agar Anda memperhatikan cara Anda menulis ... ;-)

— Andrej Bauer

6

@AndrejBauer OP dapat menjadi seseorang yang bukan penutur asli bahasa Inggris, dan yang mungkin belum memiliki kesempatan untuk mendapatkan instruksi tentang bahasa Inggris formal. Ini bukan alasan untuk mengecilkan hati siapa pun, meskipun bisa membantu untuk memperbaikinya.

— Yuval Filmus

28

Pertimbangkan teorema empat persegi Lagrange . Ini menyatakan bahwa jika maka . Jika teratur, ambil lain ambil . Either way, ini membuktikan keberadaan tidak teratur sehingga teratur. $B = \{1^{n^2}| n \geq 0\}$ $B^4 = \{1^n | n \geq 0\}$ $B^2$ $A = B$ $A = B^2$ $A$ $A^2$

— Karolis Juodelė
sumber

Saya tidak mengerti bukti ini; bisakah kamu menguraikan sedikit?

— G. Bach

2

Menjelaskan ini (indah) bukti: Kita memiliki

, dan bahwa

. Perhatikan bahwa

. Sekarang, jika

, maka dengan mengambil

kita memiliki sampel tandingan, dan jika

maka dengan mengambil

kita memiliki sampel tandingan.

B \notin R E G

$B\notin REG$

B^{4} \in R E G

$B^4\in REG$

B^{4} = (B^{2})^{2}

$B^4=(B^2)^2$

B^{2} \in R E G

$B^2\in REG$

A = B

$A=B$

B^{2} \notin R E G

$B^2\notin REG$

A = B^{2}

$A=B^2$

— Shaull

1

Sangat cantik.

— vonbrand

3

@YuvalFilmus, memang, tapi saya tidak punya bukti dan saya tidak ingin meninggalkan keraguan. Sekarang saya sepertinya telah menemukan satu. "Angka

adalah jumlah dari dua kuadrat jika dan hanya jika semua faktor prima dari bentuk

bahkan memiliki eksponen dalam faktorisasi prima dari

." Biarkan

menjadi panjang pemompaan. Pertimbangkan

. Biarkan

menjadi prima dari bentuk

dan biarkan

menjadi panjang yang kita pilih untuk dipompa. Kemudian,

n

$n$

4 k + 3

$4k+3$

n

$n$

n

$n$

w = (n!)^{2}

$w = (n!)^2$

p

$p$

4 k + 3

$4k+3$

m

$m$

memiliki eksponen aneh pada

dan dengan demikian tidak dalam

.

w + (p - 1) \frac{w}{m} \cdot m = p w

$w + (p-1)\frac{w}{m}\cdot m = pw$

p

$p$

B^{2}

$B^2$

— Karolis Juodelė

1

@ JonasKölker, setuju.

— Karolis Juodelė

8

Berikut adalah contoh dari bahasa tidak dapat dihitung sehingga . Ambil dapat dihitung (direpresentasikan sebagai sekumpulan angka, mis. Kode mesin Turing yang berhenti), dan tentukan Jadi berisi semua kata lain daripada yang panjang untuk beberapa . Jika $A$ $A^2 = \Sigma^*$ $K$

A = {w \in Σ^{*} : | w | \neq 4^{k} for all k \in K} .

$A = \{ w \in \Sigma^* : |w| \neq 4^k \text{ for all } k \in K \}.$

A

$A$

4^{k}

$4^k$

k \in K

$k \in K$

A

$A$ dihitung maka Anda dapat menghitung

: diberikan

, tentukan apakah

(yaitu,

nol) berada di

atau tidak. Karena kami menganggap

tidak dapat dihitung,

juga harus tidak dapat dihitung.

K

$K$

k

$k$

0^{4^{k}}

$0^{4^k}$

4^{k}

$4^k$

A

$A$

K

$K$

A

$A$

Klaim: . Biarkan menjadi kata panjang . Jika bukan kekuatan , maka dan kata kosongnya di , jadi . Jika adalah kekuatan maka bukan kekuatan . Tulis , di mana $A^2 = \Sigma^*$ $w$ $n$ $n$ $4$ $w \in A$ $A$ $w \in A^2$ $n$ $4$ $n/2$ $4$ $w = xy$ . Keduanya jadi . $|x| = |y| = n/2$ $x,y \in A$ $w = xy \in A^2$

— Yuval Filmus
sumber

1

Untuk pemula, sketsa bukti untuk "

undecidable" mungkin berurutan. Juga, rintangan kecil mungkin bahwa Anda menggunakan

sebagai bahasa formal dan sebagai seperangkat angka (yang adil, dengan asumsi semantik yang cocok untuk

, tetapi mungkin asing). Kalau tidak, ide yang sangat bagus.

A

$A$

K

$K$

K

$K$

— Raphael

2

Bukti Anda masih membuat lompatan besar (dengan alasan bahwa rangkaian bahasa non-reguler adalah non-reguler).

$A=\{1^p: p\text{ is a prime}\}$ $A^2=\{1^{2k}: k>1\}$

Ini tidak menyelesaikan pertanyaan sepenuhnya, tetapi memberikan bukti kuat bahwa jawabannya adalah tidak (kalau tidak dugaan Goldbach salah). Namun, jawabannya mungkin sangat sulit untuk dibuktikan, jika ini adalah satu-satunya contoh yang diketahui.

— Shaull
sumber

Apa yang bisa kita simpulkan tentang pertanyaan itu?

— akshay

A^{2}

$A^2$

A

$A$

2

Di hadapan bukti "nyata", saya tidak berpikir menggunakan dugaan yang tidak terbukti itu adil. Mungkin koneksi ini menarik untuk sebagian orang?

— Raphael

Memang, setelah jawaban berikut, ini berlebihan. Namun, Anda dapat melihat perkembangan matematika yang bagus di sini: jawaban berdasarkan dugaan terkenal, kemudian jawaban terkait (menggunakan teorema Lagrange), yang didasarkan pada ide yang sama (menguraikan angka menjadi penjumlahan).

— Shaull

1

Bahkan jika Anda menggunakan bilangan prima dan semiprimes, Anda dapat menggunakan teorema Chen .

— sdcvvc

2

Klaim itu salah.

$D$ $x \in D$ $y\in D$ $|y| > 4|x|$ $|x|>4|y|$ ^$\dagger$

$A = \Sigma^* \setminus D$ $A$

$A^2 = \Sigma^*$ $\ \ \$

^$\dagger$_{$|y|>2|x|$ $|y|>2|x|+2$ $|y|>4|x|$}

— Ran G.
sumber

1 \in A

$1 \in A$

1^{k} \notin A ⟹ 1^{k - 1} \in A

$1^k \notin A \implies 1^{k-1} \in A$

2

$X \subseteq {1}^\ast$ $A=\{1\} \cup \{1^{2x}:x \in \mathbb N\} \cup \{1^{2x+1}:1^x \in X\}$

$A$ $A^2=1^{\ast}$

— sdcvvc
sumber

2

$U\subseteq \mathbb{N}$ $I = \{2u+1\mid u\in U\}\cup\{0,2,4,\dots\}$ $L = \{a^i\mid i\in I\}$ $L$ $L^2 = \{a^{2n}\mid n\in \mathbb{N}\} \cup \{a^n\mid n\geq \min\,I\}$

— David Richerby
sumber

0

$\{a^k\mid m\text{ is composite}\}$ $n\geq 8$ $n-4$ $4$ $n\geq 13$ $n-9$ $9$ $n-9=2m$ $m\geq 2$ $A^2 = \{a^8,a^{10}\}\cup\{a^k\mid k\geq 12\}$ $\{\epsilon,a,aa,\dots,a^6,a^7,a^9,a^{11}\}$

— David Richerby
sumber