Pengurangan ruang log dari sirkuit Parity-L ke CNOT?

Pertanyaan.

Dalam makalah mereka Peningkatan simulasi sirkuit stabilizer , Aaronson dan Gottesman mengklaim bahwa mensimulasikan sirkuit CNOT adalah ⊕L -complete (di bawah pengurangan ruang log). Jelas bahwa itu terkandung dalam ⊕L ; bagaimana hasil kekerasan berlangsung?

Secara ekuivalen: apakah ada pengurangan ruang log dari produk matriks berulang modulo 2, menjadi produk berulang dari matriks elementer (matriks yang dapat dibalik yang mewujudkan transformasi baris) mod 2?

Detail

Operasi dikendalikan-TIDAK (atau CNOT ) adalah operasi boolean yang dapat dibalik, dari bentuk

{C N O T}_{h, j} (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j} \oplus x_{h}, \dots, x_{n})

$\mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n)$ di mana hanyaj^thbit berubah, dan bit yang diubah dengan menambahkan

x_{h}

$x_h$ modulo 2, untuk setiap posisi yang berbedahdanj. Tidak sulit untuk melihat, jika kita menafsirkan

sebagai vektor lebih dari ℤ / 2ℤ, yang ini sesuai dengan modulo transformasi baris 2, yang dapat kita wakili dengan matriks dengan 1s pada posisi diagonal dan posisi off-diagonal tunggal. SebuahCNOT sirkuitkemudian produk matriks yang terdiri dari produk dari beberapa matriks elementer jenis ini.

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n)$

Makalah oleh Aaronson dan Gottesman yang disebutkan di atas (yang, sangat kebetulan untuk pertanyaan ini, adalah tentang kelas sirkuit kuantum yang dapat disimulasikan dalam ⊕L ) memiliki bagian tentang kompleksitas komputasi. Menjelang awal bagian ini, mereka menggambarkan ⊕L sebagai berikut:

⊕L adalah kelas dari semua masalah yang dapat dipecahkan oleh mesin Turing ruang logaritmik nondeterministik, yang menerima jika dan hanya jika jumlah total jalur penerimaan adalah ganjil. Tetapi ada definisi alternatif yang mungkin lebih intuitif untuk ilmuwan non-komputer. Ini adalah bahwa ⊕L adalah kelas masalah yang mengurangi untuk mensimulasikan sirkuit CNOT ukuran polinomial, yaitu sirkuit yang seluruhnya terdiri dari gerbang NOT dan CNOT, yang bekerja pada keadaan awal | 0 ... 0⟩. (Mudah untuk menunjukkan bahwa kedua definisi itu setara, tetapi ini akan mengharuskan kita untuk menjelaskan apa arti definisi yang biasa!)

Target audiens artikel termasuk sejumlah besar ilmuwan non-komputer, sehingga keinginan untuk menghindari itu tidak masuk akal; Saya berharap seseorang dapat menjelaskan bagaimana kesetaraan ini berlaku.

Jelas, simulasi produk dari matriks tersebut dapat dilakukan dalam ⊕L sebagai kasus khusus dari evaluasi koefisien produk matriks iterasi (mod 2), yang merupakan masalah lengkap (di bawah pengurangan logspace) untuk ⊕L . Lebih lanjut, karena matriks CNOT hanya melakukan operasi baris elementer, setiap matriks yang dapat dibalik dapat didekomposisi sebagai produk dari matriks CNOT. Namun: tidak jelas bagaimana cara saya menguraikan bahkan sebuah mod 2 matriks yang dapat dibalik menjadi produk dari matriks CNOT oleh pengurangan ruang log . (Memang, seperti dicatat oleh Emil Jeřábek dalam komentar, eliminasi Gaussian cukup untuk menghitung determinan mod 2, yang merupakan masalah ⊕L -lengkap : jadi serangan langsung dengan mendekomposisi mis. matriks yang dapat dibalik sebagai produk dari matriks dasar tampaknya tidak layak dalam ruang log kecuali L = ⊕L .) Untuk mengatakan tidak ada produk matriks yang tidak dapat dibalik. Jadi beberapa pengurangan yang cerdas tampaknya diperlukan.

Saya harap seseorang dapat memberikan sketsa pengurangan ini, atau referensi ( misalnya teks yang merupakan latihan ini, jika sederhana).

— Niel de Beaudrap
sumber

Saya kira determinan komputasi mod

juga ⊕L-lengkap, maka eliminasi Gaussian mod

adalah ⊕L-keras.

2

$2$

2

$2$

— Emil Jeřábek mendukung Monica

@ EmilJeřábek: Saya sedang memikirkan komentar Anda, dan saya mencoba untuk melihat apakah ini segera menyiratkan bahwa simulasi sirkuit CNOT tidak lengkap untuk unlessL kecuali L = ⊕L . (Pertimbangkan produk dari satu matriks, atau produk dari matriks tunggal dengan matriks identitas!) Ini tampaknya hampir terlalu mudah; apakah saya melewatkan sesuatu? Saya kira mungkin itu hanya mengesampingkan pengurangan banyak-ke-satu.

— Niel de Beaudrap

Saya pikir itu tidak mudah. ⊕L adalah kelas masalah keputusan, sedangkan perkalian matriks atas F_2 adalah masalah fungsi. Versi ofL dari perkalian matriks adalah untuk meminta sedikit hasil tertentu (katakanlah, entri kiri atas dari matriks). Bisakah ada algoritma ruang log yang mengambil urutan matriks dan menghasilkan urutan matriks elementer sehingga produk dari kedua urutan memiliki elemen kiri atas yang sama? Ini jauh lebih lemah dari eliminasi Gaussian sejati. Sebenarnya, klaim Aaronson dan Gottesman terdengar masuk akal bagi saya, meskipun saya tidak yakin bagaimana membuktikannya.

— Emil Jeřábek mendukung Monica

@ EmilJeřábek: Saya sedang berpikir tentang bagaimana sebagian besar masalah keputusan ⊕L didasarkan pada memverifikasi koefisien individu dari masalah yang wajar untuk DET (adalah umum untuk berbicara tentang masalah fungsi sebagai ⊕L -complete, namun penyalahgunaan dari terminologi itu adalah); dan intuisi saya untuk produk matriks adalah bahwa itu cukup rumit sehingga sulit untuk mengatur ad-hoc, untuk setiap koefisien tunggal , bahwa dua produk matriks harus sama dengan koefisien sedemikian rupa sehingga Anda tidak dapat cukup yakin bahwa semua koefisien lainnya akan setuju juga.

— Niel de Beaudrap

Saya mengerti: menghitung jalur penerimaan dari mesin ruang log sama dengan menghitung jalur dalam grafik asiklik , yang dapat direpresentasikan dengan perkalian matriks segitiga atas dengan 1 pada diagonal. Yang terakhir dapat dengan mudah dinyatakan sebagai produk dari matriks elementer secara eksplisit, tanpa eliminasi Gaussian.

— Emil Jeřábek mendukung Monica

Mari kita mulai dengan masalah -complete untuk menghitung mod jumlah lintasan panjang dari simpul ke simpul dalam grafik berarah . Kami menerapkan beberapa pengurangan logspace sebagai berikut. $\oplus L$ $2$ $n$ $s$ $t$ $G=(V,E)$

Misalkan menjadi grafik sedemikian rupa sehingga dan $G'=(V',E')$ $V'=V\times\{0,\dots,n\}$ (yaitu, kita mengambil salinan ‘simpul s, tepi make pergi dari th copy ke th copy sesuai dengan tepi 's, dan tambahkan semua loop otomatis). Maka masalah aslinya setara dengan menghitung jalur panjang dari ke $E'=\{((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)\in E\}\cup\{(w,w):w\in V'\}$ $n+1$ $G$ $i$ $(i+1)$ $G$ $n$ $s'=(s,0)$ $t'=(t,n)$ dalam . $G'$

Selain itu, adalah asiklik, dan kita secara eksplisit dapat menentukan penghitungan sehingga semua tepi di terpisah dari diri-loop pergi dari ke untuk beberapa . Tanpa kehilangan sifat umum, dan . Biarkan menjadi matriks kedekatan $G'$ $V'=\{w_k:k\le m\}$ $G'$ $w_k$ $w_l$ $k<l$ $w_0=s'$ $w_m=t'$ $M$ $G'$ WR enumerasi yang diberikan. Kemudian adalah matriks integer segitiga atas dengan pada diagonal, dan jumlah lintasan panjang dari ke sama dengan elemen kanan atas . $M$ $1$ $n$ $s'$ $t'$ $M^n$

Mudah untuk melihat bahwa mana adalah matriks elementer yang satu-satunya entri nondiagonal adalah dalam baris dan kolom . Dengan cara ini, kami mengurangi masalah awal untuk menghitung elemen kanan atas dari produk matriks elementer. Di dalam

M = \prod_{j = m}^{1} \prod_{i = 0}^{j - 1} E_{i, j} (M_{i, j}),

$M=\prod_{j=m}^1\prod_{i=0}^{j-1}E_{i,j}(M_{i,j}),$

E_{i, j} (a)

$E_{i,j}(a)$

a

$a$

i

$i$

j

$j$

\oplus L

$\oplus L$ kasus, perhitungannya adalah modulo

, yaitu, kami mempertimbangkan matriks lebih dari

. (Dalam hal ini, matriks-matriks dasar hanya bisa menjadi

, yang dapat kita abaikan, dan

, yang dapat disimulasikan oleh gerbang CNOT tunggal, seperti yang disebutkan dalam pertanyaan .) Jika kita menganggapnya sebagai matriks bilangan bulat, kita mendapatkan masalah

-complete, dan jika kita menganggapnya modulo

, kita mendapatkan masalah

-complete.

2

$2$

F_{2}

$\mathbb F_2$

E_{i, j} (0) = I

$E_{i,j}(0)=I$

E_{i, j} (1)

$E_{i,j}(1)$

# L

$\#L$

k

$k$

{M o d}_{k} L

$\mathrm{Mod}_kL$

— Emil Jeřábek mendukung Monica
sumber

Maksud saya, ini adalah

-complete untuk matriks elementer dengan koefisien integer nonnegatif . Dengan bilangan bulat sewenang-wenang, itu adalah DET-complete.

# L

$\#L$

— Emil Jeřábek mendukung Monica

Berikut ini mungkin standar, tetapi saya belum secara eksplisit melihatnya sebelumnya: untuk menunjukkan bahwa menemukan jumlah jalur panjang tepat n dalam digraf (mungkin siklik) adalah ⊕L -lengkap , perhatikan bahwa ini sama dengan menghitung koefisien beberapa kekuatan matriks arbitrer atas

, yang merupakan ⊕L -complete. Jawaban ini kemudian pada dasarnya sebagai pengurangan dari powering matriks (menggunakan konstruksi standar M sebagai matriks blok yang hanya terdiri dari salinan matriks adjacency sewenang-wenang G di blok off-diagonal atas, dan 1 pada diagonal) ke sirkuit CNOT . Jawaban bagus!

F_{2}

$\mathbb F_2$

— Niel de Beaudrap

Anda tidak perlu melalui powering matriks, yang ⊕L-kelengkapannya lebih sulit untuk dibuktikan. ⊕L didefinisikan dengan menghitung mod 2 jalur penerimaan dari mesin Turing nondeterministic (dengan jam waktu polinomial, saya kira, sehingga jumlahnya dijamin terbatas), yang sama dengan menghitung jalur dalam grafik konfigurasi dari mesin (mudah untuk mengatur bahwa semua jalur berakhir dalam konfigurasi yang sama, dan bahwa jalur memiliki panjang yang sama, dengan membuat mesin masuk ke lingkaran sampai jamnya habis dan kemudian memasuki kondisi penerimaan tetap).

— Emil Jeřábek mendukung Monica

Saya mengira bahwa dari memfokuskan pada ide-ide dalam makalah Stucture dan pentingnya kelas Logspace-MOD oleh Buntrock et al. Saya telah menjadi jauh lebih terbiasa berpikir dalam hal jumlah jalur yang panjangnya sewenang - wenang dalam digraf asiklik , dan masalah seperti DET seperti produk dan kekuatan matriks yang secara alami terhubung dengannya.

— Niel de Beaudrap