Hasil yang indah di TCS

Baru-baru ini, seorang teman saya (bekerja di TCS) menyebutkan dalam sebuah percakapan bahwa "dia ingin melihat / mengetahui semua (atau sebanyak mungkin) hasil indah di TCS dalam hidupnya". Jenis ini membuat saya bertanya-tanya tentang hasil yang indah di bidang ini dan karenanya motivasi untuk pertanyaan berikut:

Menurut Anda, hasil (atau gagasan) mana yang indah dalam ilmu komputer teoretis? Akan lebih bagus jika Anda menyebutkan alasannya juga. [Akan juga baik-baik saja walaupun ide-ide itu berasal dari matematika, tetapi telah membangkitkan minat dan menemukan kegunaan dalam TCS]

Saya akan mulai dengan sebuah jawaban sebagai argumen diagonal Cantor karena itu sederhana, elegan, namun merupakan hasil yang kuat.

Ketidakpastian masalah penghentian.

Cantik karena berbagai alasan. Ini adalah hasil yang tidak mungkin. Buktinya menggunakan diagonisasi. Pernyataan ini berlaku untuk berbagai model perhitungan. Ini dapat dirumuskan dalam berbagai cara, khususnya, menggunakan bahasa pemrograman standar. Itu adalah hasil penting dalam sejarah komputasi. Memperluas pernyataan ini mengarah ke Teorema Rice, gelar Turing dan banyak hasil keren lainnya. Dll. Dll.

Menurut pendapat saya, korespondensi Curry-Howard adalah salah satu hasil teoretis yang paling indah, dan yang mendorong saya untuk melakukan penelitian.

Gagasan bahwa dua sistem, program di satu sisi, dan bukti di sisi lain, memiliki struktur yang persis sama, hampir bersifat filosofis: apakah ada "pola penalaran" yang umum?

Kemungkinan kriptografi kunci publik, misalnya, skema pertukaran kunci Diffie-Hellman.

Itu mematahkan prakonsepsi yang sangat kuat bahwa orang harus bertemu sebelum bertukar rahasia pada saluran yang tidak aman.

Saya masih dan masih terkejut dengan algoritma Euclid. Bagi saya, ini adalah bukti kekuatan pemikiran manusia - bahwa orang dapat memahami algoritma semacam itu begitu awal (sekitar 300 SM jika saya mempercayai ingatan saya).

Penerusan cepat, ada pikiran mematikan literatur pada subjek. Saya pikir daftar Scott Aaronson harus membantu dalam hal ini - meskipun, seperti yang dikatakan Aaronson sendiri tidak lengkap (dan tidak sepenuhnya teoretis)

Teknik Yao untuk menggunakan Teorema Minmax von Neumann untuk membuktikan batas bawah untuk Algoritma Acak. Saya menemukannya sebagai sesuatu yang keluar dari dunia ini.

Metode probabilistik untuk membuktikan keberadaan objek yang kami rasa sulit untuk dibangun termasuk Lovasz Local Lemma. Teknik-teknik ini sangat sederhana, namun sangat kuat.

Konstruksi teori pengkodean Madhu Sudan menggunakan polinomial.

Ekspander (ini dimulai sebagai grafik Ramanujan) dan Extractors dan aplikasi mereka di Pseudorandomness.

Algoritma Fast Fourier Transform dari Cooley dan Tukey untuk menemukan DFT. (Meskipun, seperti yang diasumsikan oleh Tukey, ini adalah penemuan kembali teknik yang terkenal, setidaknya diketahui oleh Gauss!)

Teorema Barrington, (hasil yang sangat mengejutkan pada masanya)

Teorema Pengulangan Paralel (meskipun hasilnya bagus, buktinya tidak mudah)

Fungsi Lovasz Theta untuk memperkirakan kapasitas shannon grafik.

Algoritma Ellipsoid yang menunjukkan bahwa LP ada di P, mengejutkan banyak orang pada saat banyak yang masih menduga itu bisa NP-Lengkap.

anehnya salah satu jawaban yang paling jelas belum ditambahkan. kadang-kadang seseorang bekerja terlalu banyak dengan sesuatu untuk melihatnya tanpa memihak. yang teori NP kelengkapan diluncurkan oleh Masak / Levin dan segera diperkuat oleh Karp yang memberi indikasi awal ubiquitousness, bahkan lebih mengetahui apa yg terjadi dalam retrospeksi. dalam banyak hal ini adalah kelahiran teori kompleksitas & TCS modern, dan pertanyaan inti / kunci / terkenalnya P =? NP masih terbuka setelah empat dekade belajar / menyerang secara intensif. P =? NP memiliki penghargaan $ 1M Claymath untuk solusinya.

bukti Cook memperkenalkan NDTM yang ternyata sama sekali bukan sekadar keingintahuan teoritis tetapi bagian yang hampir sangat mendasar dari TCS. meluncurkan seribu kapal, sehingga untuk berbicara. selain itu, ia terus menolak / menentang upaya melalui salah satu kunci / teknik TCS kuat lainnya yang disebutkan dalam daftar ini, diagonalisasi, terlihat dalam misalnya hasil BGS-75 Oracle / Relativization - menunjukkan bahwa harus ada sesuatu yang eksotis dan berbeda tentang segala kemungkinan solusi, juga lebih lanjut disarankan / diperluas oleh makalah Bukti Alam Razborov-Rudich (hadiah Godel 2007).

ada banyak, banyak referensi pada subjek tetapi satu lagi baru-baru ini dengan beberapa catatan langsung sejarah dapat ditemukan dalam The P =? NP Question dan Godel's Lost Letter oleh RJ Lipton

Kompleksitas Kolmogorov dan metode inkompresibilitas .

Metode ketidakkompresan - berdasarkan pada kompleksitas Kolmogorov - memberikan cara baru dan intuitif untuk merumuskan bukti. Dalam pembuktian tipikal dengan menggunakan metode tidak dapat dimampatkan, pertama-tama seseorang memilih objek yang tidak dapat dimampatkan dari kelas yang didiskusikan. Argumen selalu mengatakan bahwa jika properti yang diinginkan tidak berlaku, maka, berbeda dengan asumsi, objek dapat dikompresi dan ini menimbulkan kontradiksi yang diperlukan.

Lihat misalnya bukti bahwa ada bilangan prima tak terhingga, bukti alternatif dari teorema ketidaklengkapan Godel, atau hubungan antara Kompleksitas Kolmogorov dan Kompleksitas Komputasi , ....

Saya (dan masih) heran dengan Teorema Rekursi Kedua Kleene . Di permukaan, tampaknya sederhana dan tidak terlalu berguna tetapi saya kemudian menemukan itu dalam baik secara matematis dan filosofis.

Ketika saya juga membaca tentang varian yang terbukti pada Mesin Turing (sangat sangat informal menyatakan bahwa mesin dapat memperoleh deskripsi sendiri atau setara bahwa ada mesin yang menampilkan deskripsi mereka sendiri, seperti program yang mencetak sendiri ..), saya merasakan otak saya berputar begitu keras, namun penasaran seperti belum pernah terjadi sebelumnya. Kemudian, Anda melihat bagaimana teorema tersebut digunakan untuk memberikan satu bukti garis untuk keraguan menghentikan masalah dan tidak dapat dikenalinya mesin minimal..etc.

Teorema kode sumber dan saluran Shannon.

Definisi matematis yang membedakan antara transmisi, penerima dan medium dan yang mengabaikan semantik pesan adalah langkah besar. Entropi, dalam konteks data adalah gagasan yang sangat berguna. Dan karena teori informasi harus lebih dikenal.

Hasil yang indah yang didasarkan pada teorema PCP menyatakan bahwa sulit secara komputasi (NP-hard) untuk memenuhi lebih dari 7/8 dari klausa rumus 3SAT bahkan untuk yang memuaskan.

algoritma shors untuk anjak piutang dalam BQP . menurut pendapat / ingatan saya, perhitungan kuantum lebih dari sekadar keingintahuan teoretis sampai hasil ini pada tahun 1994, di mana pada saat itu tampaknya literatur dan minat penelitian terhadap komputasi QM meledak. itu masih bisa dibilang salah satu algoritma QM paling penting yang dikenal. dianugerahi hadiah Gödel 1999. itu juga mengungkapkan bahwa anjak piutang dalam perhitungan QM sebenarnya dalam arti agak lebih baik dipahami daripada dalam komputasi klasik di mana misalnya pertanyaan apakah anjak piutang adalah NP lengkap masih terbuka.

menurut saya tes primality AKS P-time cukup indah dalam berbagai pengertian. sebuah terobosan pada saat itu, salah satu terobosan besar tetapi agak jarang terlihat dalam teori kompleksitas dalam kehidupan kita. itu memecahkan masalah yang berasal dari zaman kuno Yunani & berhubungan dengan beberapa algoritma paling awal yang ditemukan (ayakan dari eratosthenes), yaitu mengidentifikasi bilangan prima secara efisien. ini merupakan bukti konstruktif bahwa deteksi primality ada di P dibandingkan dengan banyak bukti hebat yang sayangnya tidak konstruktif.

itu saling berhubungan dengan algoritma kriptografi RSA yang disebutkan dalam jawaban lain karena algoritma itu perlu menemukan bilangan prima besar dengan cepat, sebelum algoritma AKS ini hanya mungkin secara probabilistik. ini secara fundamental terhubung ke teori bilangan & masalah mendalam lainnya misalnya dugaan Riemann yang dalam banyak hal adalah bidang asli algoritme.

dianugerahi Hadiah Gödel 2006 dan Hadiah Fulkerson 2006

Saya pikir grafik teorema minor oleh Robertson dan Seymour adalah teori paling indah yang pernah saya lihat (dan sebagian membacanya). Pertama-tama ini cukup rumit, tetapi dugaan dasar tidak sulit dan mungkin semua orang yang bekerja di TCS dapat menebaknya. Upaya ekstrem mereka untuk membuktikannya sungguh luar biasa. Bahkan setelah saya membaca beberapa makalah dalam seri itu saya mengerti kekuatan pikiran manusia.

Teorema minor grafik juga memiliki dampak besar pada berbagai bidang TCS. Seperti teori grafik, algoritma aproksimasi, algoritma parametrized, logika, ...

Salah satu keluarga hasil favorit saya adalah bahwa berbagai masalah yang tampaknya tak terbatas dapat diputuskan.

1. Teori orde pertama dari bidang tertutup nyata dapat dipilih (oleh Tarski). Geometri Euclidean juga merupakan model aksioma bidang real-closed, oleh Tarski, pernyataan orde pertama dalam model ini dapat dipilih.
2. Aritmatika presburger dapat dipilih.
3. Teori urutan pertama dari bidang yang tertutup secara aljabar (ini termasuk bilangan kompleks) dapat ditentukan.
4. Logika urutan kedua monadik atas kata-kata tak terbatas (dan terbatas) dapat dipilih. Buktinya elegan dan bisa diajarkan ke undergrads.

Ada banyak hasil bagus tentang algoritma probabilistik, yang tampak sederhana dan merupakan langkah maju yang hebat dalam cara kita berpikir tentang komputasi.

Trik von Neumann untuk menerapkan koin yang adil dengan yang bias. Kami sudah terbiasa dengan algoritma probabilistik sekarang, tetapi dari perspektif luar, ini luar biasa keren. Baik algoritme dan bukti dapat diakses oleh siapa saja yang mengetahui probabilitas sekolah menengah.

Hasil oleh Tim Griffin bahwa operator kontrol seperti call/ccterkait dengan logika klasik, memperluas korespondensi Curry-Howard.

call/cc$E$$\neg\neg \tau$$\mathtt{call/cc}{(E)}$$\tau$$\neg\tau$$\tau\rightarrow\bot$$\tau$

Nya kertas , "A Rumus-sebagai-jenis pengertian kontrol", muncul dalam POPL 1990.

Favorit saya adalah algoritma waktu linear Rabin untuk menghitung pasangan titik terdekat dalam pesawat (atau lebih tepatnya penyederhanaannya). Ini melintasi pentingnya model komputasi, kekuatan algoritma acak, dan beberapa cara elegan untuk berpikir tentang algoritma acak.

Ini mengatakan, CS masih jauh dari mencapai tingkat keanggunan satu pertemuan dalam matematika (well, mereka memiliki 5000 tahun awal), dari definisi dasar / hasil dalam kalkulus, topologi (teorema titik tetap), kombinatorik, geometri (teorema Pythagoras http) : //en.wikipedia.org/wiki/File: Pythag_anim.gif ), dll.

Jika Anda mencari kecantikan, cari di mana-mana ...

Hasil ini mungkin sedikit baru-baru ini memenuhi syarat sebagai fundamental, tapi saya percaya bahwa interpretasi tipe-as-homotopy memenuhi syarat. Pandangan ini memungkinkan menafsirkan jenis dari teori tipe konstruktif sebagai set dengan sifat geometris tertentu, dalam hal ini homotopy .

Saya menemukan sudut pandang ini sangat indah karena membuat pengamatan kompleks sebelumnya tentang teori tipe sederhana, misalnya fakta bahwa "aksioma K" tidak dapat diturunkan .

Gambaran dari bidang pemula ini oleh Steve Awodey dapat ditemukan di sini .

Bukti nol-pengetahuan adalah konsep yang sangat menarik. Hal ini memungkinkan suatu entitas, prover, untuk membuktikan (dengan probabilitas tinggi) ke entitas lain, verifier, bahwa ia mengetahui "rahasia" (solusi untuk beberapa masalah NP, akar kuadrat modular dari sejumlah angka, diskrit log beberapa nomor dll ...) tanpa memberikan informasi sama sekali tentang rahasia (yang sulit pada pandangan pertama, karena ide pertama untuk membuktikan bahwa Anda tahu rahasia adalah untuk benar-benar memberitahukan rahasianya, dan bahwa setiap komunikasi yang dapat menghasilkan pemeriksa percaya bahwa Anda tahu rahasianya dapat a priori hanya meningkatkan pengetahuan pemeriksa tentang rahasia).