Label Hardness of Computing Weisfeiler-Lehman

The 1-dim algoritma Weisfeiler-Lehman (WL) umumnya dikenal sebagai label kanonik atau algoritma warna perbaikan. Ia bekerja sebagai berikut:

• Pewarnaan awal seragam, untuk semua simpul .$C_0$$C_0(v) = 1$$v \in V (G) \cup V (H)$
• Dalam putaran st, warna C i + 1 ( v ) didefinisikan sebagai pasangan yang terdiri dari warna sebelumnya C i - 1 ( v ) dan multiset warna C i - 1 ( u ) untuk semua u berdekatan dengan v . Misalnya, C 1 ( v ) = C 1 ( w ) iff v dan w memiliki derajat yang sama.$(i + 1)$$C_{i+1}(v)$$C_{i−1}(v)$$C_{i−1}(u)$$u$$v$$C_1(v) = C_1(w)$$v$$w$
• Agar penyandian warna tetap singkat, setelah setiap putaran warna diubah namanya.

Diberikan dua graf tidak berarah dan H , jika multiset warna (alias label) dari simpul G berbeda dari multiset warna dari simpul H , algoritma melaporkan bahwa grafik tersebut bukan isomorfik; jika tidak, itu menyatakan mereka sebagai isomorfik.$G$$H$$G$$H$

Sudah diketahui bahwa 1-dim WL bekerja dengan benar untuk semua pohon dan hanya membutuhkan putaran .$O({\log}n)$

Pertanyaanku adalah :

Berapakah tingkat kesulitan menghitung 1-dim WL label pohon? Apakah batas bawah lebih baik daripada logspace diketahui?

Masalah dalam memutuskan apakah dua grafik memiliki pelabelan yang setara dan karenanya juga masalah penghitungan pelabelan kanonik selesai PTIME. Lihat

M. Grohe, Kesetaraan dalam logika variabel hingga selesai untuk waktu polinomial. Combinatorica 19: 507-532, 1999. (Versi konferensi di FOCS'96.)

Perhatikan bahwa kesetaraan penyempurnaan warna sesuai dengan kesetaraan dalam logika C ^ 2.

-Martin