NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?

Dalam "Pada determinisme versus nondeterminisme dan masalah terkait" (Proc. IEEE FOCS, halaman 429-438, 1983), Paul, Pippenger, Szemerédi dan Trotter membuktikan bahwa .
$\mathsf{NTIME}(n)\neq\mathsf{DTIME}(n)$

Ini menjawab pertanyaan saya dengan k = 1. Adakah yang diketahui tentang hasil yang serupa untuk k yang diperbaiki lainnya?

Tidak ada batas bawah tanpa syarat yang diketahui untuk dalam model multitape TM (atau model apa pun yang lebih kuat dari itu).$k \geq 2$

Ravi Kannan mempelajari masalah ini dalam "Menuju memisahkan nondeterminisme dari determinisme" (1984) . Dalam proses mencoba menunjukkan ia berhasil membuktikan hal berikut: ada beberapa konstanta universal sedemikian rupa sehingga untuk setiap , . Di sini, TIME-SPACE (n ^ k, n ^ {k / c}) adalah kelas bahasa yang dikenali oleh mesin menggunakan waktu n ^ k dan spasi n ^ {k / c} secara bersamaan. Jelas TIME-SPACE (n ^ k, n ^ {k / c}) \ subseteq TIME (n ^ k) tetapi tidak diketahui apakah keduanya sama.$NTIME(n^k) \neq TIME(n^k)$$c \geq 1$$k$$NTIME(n^k) \not \subseteq TIME-SPACE(n^k,n^{k/c})$$TIME-SPACE(n^k, n^{k/c})$$n^k$$n^{k/c}$$TIME-SPACE(n^k,n^{k/c}) \subseteq TIME(n^k)$

Jika Anda menganggap untuk beberapa $k \geq 2$ bahwa $NTIME(n^k) = TIME(n^k)$ , Anda mendapatkan konsekuensi yang menarik. $P=NP$ jelas, tetapi juga menyiratkan bahwa ${\sf NL} \neq {\sf P}$ . Ini dapat dibuktikan dengan menggunakan argumen "perdagangan alternatif". Pada dasarnya, untuk setiap $k$ dan setiap bahasa $L \in {\sf NL}$ , ada c yang konstan $c$dan beberapa mesin bergantian yang mengenali $L$ dan membuat pergantian $c$ , menebak $O(n)$ bit per pergantian, kemudian beralih ke mode deterministik dan berjalan dalam waktu $n^k$ . (Ini mengikuti, misalnya, dari bermain - main dengan konstruksi diFortnow, "Time-Space Tradeoffs for Satisfiability" (1997) .) Sekarang jika $TIME(n^k) = NTIME(n^k)$ maka semua pergantian c ini $c$dapat dihapus dengan hanya sejumlah kecil overhead, dan Anda berakhir dengan $TIME(n^k)$ perhitungan yang mengakui $L$ . Maka ${\sf NL }\subseteq TIME(n^k) \neq {\sf P}$ . Mungkin tidak ada simulasi bergantian seperti itu, tetapi jika Anda dapat mengesampingkannya, maka Anda akan memiliki batas bawah yang Anda cari. (Catatan: Saya percaya bahwa argumen di atas juga ada di koran Kannan.)

walaupun tidak persis apa yang Anda tanyakan, rj lipton berkomentar di blognya tentang kesulitan mendasar dari hasil di bidang ini dan bahwa pendekatan khas "padding" tidak berlaku [1] & menunjukkan bahwa hasil PPST saat Anda mengutip baru-baru ini telah sedikit diperluas (oleh faktor logaritmik) oleh Santhanam [2] yaitu

[1] http://rjlipton.wordpress.com/2011/01/19/we-believe-a-lot-but-can-prove-little/

[2] http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.22.2392