Bagaimana cara menghitung kekuatan matriks bujur sangkar?

Misalkan kita diberi matriks , dan biarkan . Seberapa cepat kita dapat menghitung kekuatan dari matriks itu? $A \in \mathbb R^{N\times N}$ $m \in \mathbb N_0$ $A^m$

Hal terbaik berikutnya dibandingkan dengan menghitung produk- adalah memanfaatkan eksponen cepat, yang membutuhkan produk-produk matriks . $m$ $\mathcal O(\log m )$

Untuk matriks yang dapat didiagonalisasi, dekomposisi nilai eigen dapat digunakan. Generalisasi alami, dekomposisi Jordan, tidak stabil di bawah pertubasi dan karena itu tidak masuk hitungan (afaik).

Bisakah matriks eksponensial dalam kasus umum dipercepat?

Eksponen cepat menyarankan variasi pertanyaan ini juga berguna:

Dapatkah kuadrat dari matriks umum dihitung lebih cepat daripada dengan algoritma penggandaan matriks yang dikenal? $A$

ds.algorithms matrices na.numerical-analysis

— shuhalo
sumber

Jika Anda peduli stabilitas di bawah gangguan, eksponensial cepat juga tidak aman.

— MCH

Yah, saya menganggap itu tidak lebih aman daripada perkalian berulang, yang sama amannya dengan eksponen skalar, bukan?

— shuhalo

Seperti yang Anda perhatikan, komputasi dapat dilakukan dalam kali jumlah operasi untuk perkalian matriks pada matriks. Jawaban untuk pertanyaan kedua Anda adalah tidak, setidaknya untuk kompleksitas asimptotik - kuadrat matriks dan perkalian matriks memiliki kompleksitas waktu / aritmatika yang setara (hingga faktor konstan). Mengurangi kuadrat ke perkalian matriks jelas. Untuk mengurangi perkalian untuk mengkuadratkan, misalkan kita ingin menghitung produk dan . Bentuk matriks dengan struktur balok: $A^m$ $O(\log m)$ $N \times N$ $A$ $B$ $2n \times 2n$ $C$

$[0~~A]$

$[B~~0]$

Artinya, memiliki semua-nol matriks dalam Surat kuadran kiri atas dan bawah kanan kuadran. Perhatikan bahwa berisi di kuadran kiri atas. $C$ $n \times n$ $C^2$ $A\cdot B$

— Ryan Williams
sumber

Saya baru-baru ini mengajukan pertanyaan di cs.SE tentang kompleksitas komputasi

dalam kasus khusus di mana m =

. Mudah untuk memberikan batas atas

, tetapi batas bawah terbaik yang dapat saya berikan adalah

. Apakah Anda punya komentar tentang masalah ini? Saya pikir banyak masalah menarik dikurangi ke kasus khusus ini.

A^{m}

$A^m$

O (n)

$\mathcal O(n)$

O (M (n) \log (n))

$\mathcal O(M(n)\log(n))$

Ω (M (n))

$\mathcal \Omega (M(n))$

— Shitikanth