Komputasi Quantum - Postulat QM

11

Saya baru saja mulai (independen) belajar tentang perhitungan kuantum secara umum dari buku Nielsen-Chuang.

Saya ingin bertanya apakah ada yang bisa mencoba menemukan waktu untuk membantu saya dengan apa yang terjadi dengan postulat pengukuran mekanika kuantum. Maksudku, aku tidak mencoba mempertanyakan dalil itu; hanya saja saya tidak mendapatkan bagaimana nilai keadaan sistem setelah pengukuran keluar ke $M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ .

Meskipun hanya apa yang dalil tampaknya katakan, saya merasa benar-benar canggung mengapa ungkapan ini. Saya tidak tahu apakah apa yang saya tanyakan di sini masuk akal, tetapi ini terbukti menjadi sesuatu yang karena beberapa alasan tampaknya menghalangi saya untuk membaca lebih jauh,

quantum-computing quantum-information

— Akash Kumar
sumber

1

Ekspresi yang Anda tulis,

M_{m} / \sqrt{< ψ | M_{m}^{+} M_{m} | ψ >}

$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ , bukan negara sama sekali. Saya kira Anda bermaksud menambahkan

| ψ >

$|\psi>$ setelah itu?

— Robin Kothari

Ya itu betul. Saya bermaksud menambahkan

| ψ >

$|\psi>$ setelah itu

— Akash Kumar

7

Harap edit pertanyaan Anda jika Anda menemukan kesalahan.

— Jukka Suomela

7

Saya tidak tahu apakah ini merupakan "penjelasan", tetapi mudah-mudahan ini merupakan "deskripsi" yang berguna.

Lebih umum daripada pengukuran proyektif, kita selalu mengukur operator . (Proyektor adalah kasus khusus untuk ini.) Jadi, apa artinya "mengukur operator"?

Nah, operator seringkali sesuai dengan kuantitas fisik yang 'dapat diamati'. Yang paling penting dalam mekanika kuantum, misalnya, adalah energi; tetapi kita juga dapat (kadang-kadang secara tidak langsung) mengukur jumlah lain, seperti momentum sudut, z- komponen medan magnet, dll. Apa yang diukur selalu memberikan hasil bernilai nyata --- pada prinsipnya, beberapa hasil yang pasti (misalnya elektron adalah dalam keadaan 'spin +1/2' sebagai lawan dari 'spin −1/2', atau pada tingkat energi tereksitasi pertama dibandingkan dengan keadaan dasar dalam atom hidrogen, dll.), meskipun masing - masing secara apriori mungkin terjadi. diwujudkan dengan beberapa kemungkinan.

Kami menetapkan masing-masing hasil nilai nyata dari pengukuran ke subruang. Cara kita melakukan ini adalah untuk menggambarkan operator Hermitian --- yaitu operator yang mengaitkan nilai eigen nyata ke subruang yang berbeda, dengan subruang meringkas hingga seluruh ruang Hilbert. Proyektor adalah operator seperti itu, di mana nilai sebenarnya adalah 0 dan 1; yaitu menggambarkan bahwa vektor milik subruang yang ditunjuk (menghasilkan nilai 1), atau orthocomplement (menghasilkan nilai 0). Operator Hermitian ini dapat diobservasi , dan eigenspaces adalah yang diobservasi memiliki nilai "pasti".

Tetapi bagaimana dengan vektor-vektor yang bukan vektor eigen, dan tidak memiliki nilai "pasti" untuk dapat diobservasi ini? Berikut adalah bagian penjelasan yang tidak menjelaskan: kami memproyeksikannya ke dalam salah satu ruang eigen, untuk mendapatkan vektor eigen dengan nilai yang terdefinisi dengan baik. Proyeksi mana yang kami terapkan ditentukan secara acak. Distribusi probabilitas diberikan oleh aturan Born yang dikenal:

\underset{| ψ ⟩}{Pr} (E = c) = ⟨ ψ | Π_{c} | ψ ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$

di mana adalah proyektor ke c -eigenspace dari 'kuantitas yang dapat diamati' E (diwakili oleh operator Hermitian ). Keadaan pasca-pengukuran adalah beberapa proyeksi dari keadaan ke beberapa ruang eigens dari A yang dapat diamati . Dan jadi jika adalah status pra-pengukuran, adalah status pasca-pengukuran, dan adalah 'hasil aktual' yang diukur ( yaitu ruang tempat diproyeksikannya kondisi pra-pengukuran), kami memiliki hasil proporsionalitas $\Pi_c$ $A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$ $|\psi\rangle$ $| \psi_0 \rangle$ $| \psi_1 \rangle$ $\Pi_c$

| ψ_{1} ⟩ \propto Π_{c} | ψ_{0} ⟩

$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$

oleh aturan proyeksi yang baru saja dijelaskan. Inilah sebabnya mengapa ada proyektor di formula Anda.

Secara umum, vektor bukan vektor satuan; karena kami ingin menggambarkan keadaan pasca-pengukuran dengan vektor satuan lain, kami harus mengubah skala dengan $| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

‖ | ψ_{1}^{'} ⟩ ‖ = \sqrt{⟨ ψ_{1}^{'} | ψ_{1}^{'} ⟩} = \sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩},

$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$

yang merupakan akar kuadrat dari probabilitas dengan mana hasil akan terjadi secara apriori . Jadi, kami memulihkan formula dalam pertanyaan Anda,

| ψ_{1} ⟩ = \frac{Π_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$

(Jika rumus ini tampak sedikit kikuk, anggaplah rumus itu terlihat dan terasa sedikit lebih baik jika Anda mewakili keadaan kuantum oleh operator kepadatan.)

Diedit untuk menambahkan: hal di atas tidak boleh ditafsirkan sebagai deskripsi POVM. Sebuah "operator positif dihargai pengukuran" lebih baik dilihat sebagai menggambarkan nilai harapan dari berbagai terukur diamati E _c dalam koleksi { E _c } _{c ∈ C} .

— Niel de Beaudrap
sumber

6

Saya akan menawarkan satu jawaban lagi untuk pertanyaan Akash Kumar, yaitu (untuk siswa khususnya) pendekatan yang baik untuk bergulat dengan misteri mekanika kuantum adalah pertama-tama bergulat dengan misteri mekanika klasik.

Dalam hal ini, buku pelajaran awal yang direkomendasikan (yang tersedia dalam paperback) adalah Stephanie Frank Singer "Symmetry in Mechanics: a Gentle Modern Introduction" ... yang memiliki keuntungan karena singkat dan jelas (termasuk 120 masalah yang dikerjakan secara eksplisit) dan belum percaya diri merangkul ide-ide modern utama geometri symplectic dan teori grup Lie.

Di sini intinya adalah bahwa pada awal abad ke-20, mekanika kuantum dan mekanika klasik tampak seperti dua teori dinamika yang sangat berbeda. Tetapi jika kita menganggap serius pepatah Vladimir Arnold bahwa "mekanika Hamilton adalah geometri dalam ruang fasa; ruang fasa memiliki struktur bermacam-macam symplectic", dan kita menganggap serius juga pepatah Ashtekar / Schilling bahwa "struktur linear yang berada di garis depan dalam perawatan buku teks mekanika kuantum adalah, terutama, hanya kenyamanan teknis dan bahan-bahan penting --- bermacam-macam negara, struktur simpleks dan metrik Riemann --- tidak berbagi linearitas ini ", maka kita sampai pada yang lebih baik penghargaan bahwa tesis Troy Schilling 1996 bersandar pada landasan matematika yang kuat dalam menyatakan bahwa "

Pendekatan geometri terpadu untuk dinamika klasik / kuantum ini berhasil terutama dengan membuat mekanika klasik tampak lebih misterius dan mekanika kuantum tampak kurang misterius ... dan baik bagi siswa untuk mengetahui bahwa ini adalah salah satu (dari banyak) pendekatan yang layak untuk mempelajari kedua jenis mekanika.

5

Jika Anda belum melihatnya, saya sangat merekomendasikan catatan kuliah Scott Aaronson "Quantum Computing Sejak Democritus" , terutama kuliah 9 . Mereka benar-benar membantu saya sebagai non-ahli dan saya telah mencoba menyaring presentasinya ke poin-poin utama di sini dan di sini .

Sejauh permintaan spesifik Anda, saya pikir itu membantu membangun intuisi jika Anda dapat menghitung beberapa contoh sederhana menggunakan Aturan Lahir dan melihat bagaimana Postulat Pengukuran bekerja dalam praktiknya.

Saya merasa paling mudah untuk menganggapnya sebagai "Probabilitas untuk mengukur hasil ke-i adalah kuadrat dari amplitudo elemen ke-i dari vektor keadaan - jika Anda melakukan perubahan basis ke vektor vektor eigen Operator."

Ini juga terkait dengan intuisi bahwa mekanika kuantum adalah probabilitas dengan bilangan kompleks - karena kuadrat amplitudo harus berjumlah 1.

Selama Anda mempelajari komputasi kuantum, Anda mungkin juga ingin memeriksa diskusi tentang algoritma Shor ini .

— Mugizi Rwebangira
sumber

Terima kasih untuk Anda Mugizi ... Catatan kuliah Scott Aaronson tampak sangat bagus.

— Akash Kumar

4

Tambahan.

Setelah mempertimbangkan kembali bentuk pertanyaan Anda ( mis . M ^† M dalam penyebut --- sebagai lawan misalnya untuk satu operator M, yang mencukupi untuk proyektor) dan mengkonsultasikan kembali salinan Nielsen dan Chaung saya, berikut adalah beberapa detail tambahan tidak tercakup oleh jawaban saya sebelumnya. (Saya memposting ini sebagai jawaban terpisah karena panjangnya, dan karena saya merasa ini bahkan kurang dari 'penjelasan' daripada jawaban saya sebelumnya.)

Misalkan kita hanya cara mengukur qubit X adalah tidak langsung: dengan interaksi 'lemah' dengan ancilla A , diikuti dengan pengukuran A . Kami ingin dapat berbicara tentang ini sebagai dalam arti cara mengukur X . Bagaimana kita menggambarkan pengukuran seperti itu dalam hal X saja? Baiklah: misalkan kita dapat dengan mudah menyiapkan A dalam keadaan awal , dan melakukan unitary yang dikontrol dari jenis berikut, dengan X sebagai kontrol dan A sebagai target: $|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

U = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos (\frac{π}{12}) & \sin (\frac{π}{12}) \\ 0 & 0 & - \sin (\frac{π}{12}) & \cos (\frac{π}{12}) \end{matrix}]

$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$

Kami kemudian mengukur A dalam basis standar (sehingga A sekarang menyimpan hasil pengukuran). Ini mengubah keadaan X sebagai berikut:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

Dalam persamaan di atas, perhatikan bahwa jika hasil pengukuran adalah c , keadaan akhir dari X sebanding dengan , di mana kita mendefinisikan $|\psi_1\rangle$ $|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

M_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |, M_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |;

$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$

dan kami dapat memverifikasi bahwa probabilitas yang kami peroleh hasil pengukuran ada di setiap kasus . $\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

Ini sangat dekat dengan menggambarkan transformasi X dengan cara yang sama seperti yang kami jelaskan pengukuran proyektif. Tetapi apakah ini semacam pengukuran, secara bermakna? Nah: jika kita dapat melakukan statistik pada hasil beberapa iterasi dari prosedur ini, dan jika X pada awalnya berdasarkan standar, kita akan melihat bahwa ada bias ketika kita memperoleh hasil '0': kita mendapatkannya lebih sering ketika X awalnya dalam keadaan . Jika kita dapat mencicipi cukup banyak waktu untuk membedakan apakah hasil pengukuran didistribusikan lebih seperti atau , kita dapat menentukan dengan probabilitas tinggi apakah qubit awalnya dalam keadaan $|1\rangle$ $(\frac12,\frac12)$ $(\frac34,\frac14)$ $|0\rangle$ atau status . $|1\rangle$

Kesamaan rumus probabilitas dan pembaruan dengan rumus pengukuran projektif, dan fakta bahwa kita dapat menggunakan statistik pengukuran untuk mendapatkan informasi tentang keadaan yang diukur, memotivasi generalisasi gagasan 'pengukuran' untuk memasukkan prosedur seperti prosedur di atas: kami dapat menjelaskan kemungkinan hasil pengukuran oleh satu, dua, atau lebih operator (yang sebenarnya adalah 'operator Kraus', objek yang terkait dengan peta CPTP), dengan hasil yang dijelaskan oleh aturan Born yang agak digeneralisasikan $M_c$

\underset{| ψ_{0} ⟩}{Pr} (result = c) = ⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$

di mana adalah operator Kraus yang terkait dengan pengukuran Anda, dan dengan aturan pembaruan yang diberikan oleh $M_c$

| ψ_{1} ⟩ = \frac{M_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$

Agar probabilitas untuk dilestarikan (sehingga dengan pasti setidaknya satu dari hasil pengukuran terjadi), kita memerlukan . Ini adalah bentuk yang lebih umum dalam pertanyaan Anda, dijelaskan oleh Nielsen dan Chaung. (Sekali lagi, ini terlihat sedikit lebih baik ketika menggambarkan keadaan oleh operator kepadatan.) $\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

Komentar umum.

Secara umum, setiap kali kami memperkenalkan ancilla (atau koleksi ancillas) A , berinteraksi dengan qubit (atau daftar beberapa qubit) X secara unitarily dengan A , dan kemudian melakukan pengukuran proyektif pada A , ini menimbulkan semacam pengukuran dari X ; operator pengukuran kemudian dapat dijelaskan oleh beberapa kumpulan operator semidefinit positif sedemikian rupa sehingga (sekali lagi sehingga kemungkinan tersebut dilestarikan). $M_c$ $\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

Pengukuran yang lebih umum, lebih lemah yang dijelaskan di sini lebih erat terkait dengan POVM, yang memungkinkan Anda untuk dengan mudah menggambarkan probabilitas pengukuran 'secara abstrak', tanpa pilihan eksplisit transformasi , dengan menyediakan operator dan memungkinkan Anda untuk menggunakan ini dalam aturan Born untuk menghitung probabilitas. Seperti yang saya singgung baik di atas maupun dalam tanggapan saya sebelumnya, POVM dapat dianggap menggambarkan informasi yang tersedia secara statistik tentang suatu sistem. $M_c$ $E_c = M_c^\dagger M_c$

Memikirkan pengukuran dalam hal operator Kraus (dan dalam hal 'register hasil pengukuran' A seperti di atas) dengan cara ini memungkinkan Anda untuk merangkum gagasan pengukuran ke dalam peta CPTP, yang merupakan ide yang saya nikmati. (Namun, ini tidak benar-benar mengubah hal-hal dari sudut pandang analitis, dan bukan sesuatu yang harus Anda khawatirkan jika Anda belum nyaman dengan peta CPTP).

— Niel de Beaudrap
sumber

4

Jawaban Niel de Beaudrap mengenai Kraus Operator sangat baik. Berkenaan dengan buku teks Nielsen dan Chuang, ini berarti bahwa seseorang harus membaca Bab 2, kemudian Bab 8, dan kemudian bab-bab selanjutnya.

Selain itu, representasi operator Kraus memiliki batas sangat kecil yang disebut operator Lindbladian; secara luas, operator Lindbladian adalah untuk operator Kraus apa aljabar Lie untuk grup Lie. Catatan on-line Carlton Caves "Peta yang benar-benar positif, peta positif, dan formulir Lindblad" mencakup sebagian besar materi ini.

Keuntungan bekerja secara eksklusif dengan operator Lindbladian yang sangat kecil daripada operator Kraus adalah bahwa Lindbladian mundur secara alami ke ruang-ruang kuantum non-Hilbert; ini termasuk ruang-negara jaringan tensor yang menjadi mana-mana dalam kimia kuantum dan fisika benda terkondensasi; apalagi teknik pullback ada di mana-mana dalam teori string juga.

Saat ini tidak ada buku teks yang mengembangkan deskripsi geometri kuantum non-Hilbert tentang dinamika kuantum ... tetapi harus ada! Buku teks yang (dengan referensi di atas) dalam sampul agregat mencakup ide-ide utama adalah John Lee "Smooth Manifolds", Frenkel dan Smit "Memahami Simulasi Molekul: dari Algoritma ke Aplikasi", dan Kloeden dan Platen "Solusi Numerik dari Persamaan Diferensial Stochastic."

Memang benar bahwa ini banyak bacaan ... dan inilah mengapa dinamika kuantum geometris tidak diajarkan di tingkat sarjana. Sangat disayangkan, karena terlalu mudah bagi mahasiswa untuk memperoleh gagasan tetap bahwa ruang-keadaan sistem dinamik kuantum adalah ruang vektor linier, meskipun ini tidak benar dalam sebagian besar perhitungan praktis skala besar.

Adapun ruang-keadaan yang digunakan Alam: tidak ada yang tahu — bukti eksperimental untuk linearitas kuantum lokal (ruang singgung) cukup kuat, namun bukti untuk linearitas kuantum global (ruang Hilbert) cukup lemah. Khususnya, eksperimen dinamik kuantum berkas molekul berpresisi tinggi — yang banyak buku ajar nyatakan sebagai bukti linearitas kuantum — dapat disimulasikan dengan presisi relatif yang diperlukan ~ 1/2 ^ {65} pada ruang-jaringan jaringan tensor dimensi rendah, dengan symplecticity dinamis hampir sempurna menggantikan linearitas dinamis hampir sempurna.

Untuk alasan di atas, mungkin siswa abad ke-21 tidak boleh menerima buku teks abad ke-20 sepenuhnya pada nilai nominal. Tapi sungguh, siswa abad ke-21 apa yang menginginkannya dengan cara lain?

Di atas adalah bagaimana insinyur sistem kuantum datang untuk merangkul perangkat matematika yang memadukan kealamian geometris dan aljabar, dan berlaku secara umum untuk sistem dinamik klasik, kuantum, dan hibrid.

Sunting penambahan: Sebagai tes kelayakan pendekatan geometris untuk simulasi kuantum praktis, Quantum Systems Engineering (QSE) Group kami melengkapi buku teks klasik Charlie Slichter, Prinsip-prinsip Resonansi Magnetik dengan versi yang disempurnakan dari Bab 3 " Pelebaran Dipolar Magnetik dan Transportasi Polarisasi di Kisi Kaku ".

Transkripsi geometris ini menunjuk secara alami ke beberapa pertanyaan terbuka dalam dinamika geometris; lihat misalnya pertanyaan MathOverflow " Dalam simulasi dinamika kuantum, apa analog simetris (Riemannian) dari braket Poisson? "

— John Sidles
sumber

Saya telah melihat Anda mengibarkan bendera untuk pendekatan ini di seluruh internet. Dengan satu atau dua kalimat sugestif, dapatkah Anda memberikan gambaran tentang bagaimana ruang keadaan yang Anda sebutkan tidak linier? Dengan kuantisasi geometrik Anda mulai dengan manifold M sebagai ruang fase klasik tetapi ruang keadaan kuantum adalah ruang Hilbert L ^ 2 (M). Yaitu, bahkan jika geometri klasik sangat non-linear, geometri kuantum masih linier, walaupun tentu saja jauh lebih besar (memiliki dimensi yang tak terbatas dan seterusnya).

— Per Vognsen

Maaf, saya berbohong putih. Anda sebenarnya harus melihat L ^ 2 pada bundel baris pada M. Tetapi poin dasarnya tetap.

— Per Vognsen

Per, apa yang Anda katakan adalah benar dari sekolah klasik (terutama Rusia) "kuantisasi geometrik", di mana seseorang memulai dengan sistem klasik dan mencari generalisasi kuantum. Tetapi persis <i> kebalikan </i> terjadi dalam model Ashtekar / Schilling dari "mekanika kuantum geometrik", di mana titik awalnya adalah dinamika symplectic / Lindbladian pada manifold K & auml; hler.

— John Sidles

1

Hmmm ... ayo format lebih baik! Per, di sekolah (terutama Rusia) "kuantisasi geometris" orang mulai dengan dinamika klasik dan mencari generalisasi kuantum. Langkah sebaliknya terlihat dalam model Ashtekar / Schilling dari "mekanika kuantum geometrik", di mana awalnya adalah dinamika symplectic / Lindbladian pada ruang-Kahler, yang mengikuti yang satu: (1) menunjukkan dinamika klasik sebagai batas yang disebabkan oleh aliran Lindblad , dan / atau (2) menarik kembali ke ruang Hilbert sebagai pendekatan N-besar (spektral). Dalam rekayasa, kedua metode terakhir ini biasa digunakan, namun tidak umum diajarkan.

— John Sidles

3

Pertama-tama, mengapa observable diwakili oleh operator? Dalam mekanika klasik, yang dapat diamati adalah fungsi bernilai nyata pada ruang fase. Ini mengekstrak informasi tentang nilai-nilai seperti energi atau momentum dari sistem tetapi tidak mempengaruhi atau mengganggu itu. Jika pengamat adalah bagian dari sistem maka pengukuran adalah proses fisik dan dapat mengubah evolusi sistem. Untuk evolusi waktu terbatas, non-infinitesimal menjadi kesatuan (yaitu mempertahankan probabilitas total), evolusi waktu infinitesimal harus Hermitian. Ini adalah teorema Stone; ini menjelaskan mengapa operator dalam mekanika kuantum adalah Hermitian.

Jika itu masuk akal, rumus mengikuti dari dua hal: $M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

$M$ menggambarkan evolusi waktu yang sangat kecil dari proses pengukuran untuk diamati. Pengganti untuk adalah dan secara dualitas penggantinya ke adalah . $\mid\psi\rangle$ $M\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid$ $\langle\psi\mid M^\dagger$
Norma adalah probabilitas total dari keadaan. Dikombinasikan dengan poin sebelumnya, ini menunjukkan probabilitas total penerus adalah . Membagi dengan akar kuadrat menormalkan keadaan. $\langle\psi\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

— Per Vognsen
sumber

Per, saya tidak yakin bahwa poin pertama sangat jelas. The dalam hal ini adalah salah satu dari serangkaian operator yang membuat pengukuran umum (mungkin POVM), dan evolusi tidak deterministik. Itu juga tidak berkelanjutan, jadi komentar tentang evolusi sangat kecil mungkin sedikit menyesatkan. Ini benar-benar lompatan bersyarat.

M

$M$

— Joe Fitzsimons

2

Baiklah, saya akan memberikan beberapa referensi tambahan yang relevan dengan pertanyaan Akash Kumar tentang postulat kuantum, dengan pandangan mendorong siswa untuk belajar matematika bahwa mereka perlu menghargai banyak kerangka kerja yang dikembangkan dengan baik untuk mempelajari dinamika klasik dan kuantum.

Mari kita mulai dari mana teks Nielsen-Chuang pergi, yaitu, dengan "Teorema: Kebebasan Bersatu dalam Representasi Operator-Sum" (Bagian 8.2 dari Nielsen-Chuang). Teks Nielsen dan Chuang mencatat bahwa satu aplikasi praktis dari teorema ini telah datang dalam teori koreksi kesalahan kuantum, di mana ia telah "penting untuk pemahaman yang baik tentang koreksi kesalahan kuantum." Tetapi kemudian teks Nielsen-Chuang terdiam.

Balasan yang diberikan (sejauh ini) di sini di Stack Exchange tidak banyak membantu dalam memahami "kebebasan kesatuan" ini ... yang ternyata merupakan pusat dari semua aspek mekanika kuantum yang terkait dengan apa yang disebut Einstein dan Bohr sebagai "spukhafte Fernwirkungen" (Aksi seram di kejauhan) dari mekanika kuantum. Secara khusus, kebebasan kesatuan ini adalah kunci untuk pembacaan kuantum, koreksi kesalahan kuantum, dan kriptografi kuantum --- tiga alasan utama mengapa siswa TCS mempelajari dinamika kuantum.

Untuk mempelajari lebih lanjut, apa yang harus dibaca siswa? Ada banyak pilihan (dan yang lain mungkin memiliki preferensi sendiri), tetapi saya akan merekomendasikan "Metode Statistik dalam Optik Quantum: bidang Non-klasikal Howard Carmichael", khususnya Bab 17--19, berjudul "Lintasan Kuantum I- AKU AKU AKU".

Dalam tiga bab ini, teks Carmichael secara fisik memotivasi apa yang disandikan teks Nielsen-Chuang sebagai postulat dan teorema formal, yaitu kebebasan kita untuk "mengurai" pengukuran projektif (pengukuran non-projektif juga) dengan berbagai cara. Secara fisik, kebebasan ini memastikan bahwa kita hidup di alam semesta yang dapat dipisahkan secara matematis, secara matematis kebebasan ini adalah dasar dari semua kriptografi kuantum dan koreksi kesalahan.

AFACIT, itu adalah Carmichael sendiri yang pada tahun 1993 menemukan istilah standar sekarang "menguraikan" untuk menggambarkan invariansi informatika ini. Sejak itu literatur yang mengungkap telah berkembang pesat: pencarian seluruh teks dari server arxiv untuk "quantum" dan "unraveling" menemukan 762 manuskrip; ejaan varian "mengurai" menemukan 612 manuskrip lagi (mungkin dengan beberapa duplikat).

Tentu saja, mempelajari perangkat matematika dan ide-ide fisik yang terkait dengan pemecahan kuantum adalah banyak pekerjaan. Masuk akal untuk bertanya, manfaat apa yang mungkin diharapkan oleh siswa secara wajar, untuk membalas kerja keras ini? Sebagai jawabannya, ini adalah perumpamaan satu paragraf, yang kebajikan utamanya adalah bahwa perumpamaan itu jauh lebih pendek daripada membaca dua teks kuantum yang sangat panjang dan sulit (Nielsen-Chuang dan Carmichael).

Sekali waktu, seorang siswa geometri Euclidean bernama Alice bertanya pada dirinya sendiri, "Bagaimana pengukuran panjang Euclidean benar-benar bekerja?" Postulat Euclidean menjawab pertanyaan Alice sebagai berikut: "Semua pengukuran panjang fisik setara dengan pengukuran dengan kompas, yang model matematisnya merupakan segmen dari garis bilangan." Namun dengan upaya besar imajinasi kreatif, Alice menyusun jawaban yang setara namun lebih umum: "Semua pengukuran panjang fisik setara dengan integrasi kecepatan di sepanjang lintasan, yang model matematika adalah kurva pada manifold yang dilengkapi dengan bentuk symplectic dan metrik dan potensi dinamika . " Kerangka kerja non-Euclidean Alice untuk dinamika klasik adalah banyak pekerjaan yang harus dipelajari, tetapi ia membuka dunia baru sains, teknologi,

Untuk membuat titik dari perumpamaan eksplisit, Alice merangkul deskripsi diferensial dinamika klasik, dan dengan demikian membebaskan dirinya dari kendala kaku ruang Euclidean. Demikian pula, siswa kuantum saat ini memiliki pilihan merangkul deskripsi diferensial dinamika yang terurai, dan dengan demikian membebaskan diri dari kendala kaku ruang Hilbert.

Seperti halnya dinamika klasik non-Euclidean, dinamika kuantum non-Hilbert adalah banyak pekerjaan yang harus dipelajari --- saat ini tidak ada buku teks tunggal yang mencakup semua materi yang diperlukan --- namun ini non-Euclidean / non-Hilbert yang baru kerangka kerja dinamis membuka dunia baru yang luas untuk eksplorasi. Eksplorasi ini meluas dari misteri teori string ke tantangan berat penulisan kode simulasi kuantum yang efisien dan tervalidasi dalam ilmu kimia dan material. Jelas bahwa penelitian di salah satu bidang ini sudah menuntut siswa baik apresiasi yang lebih dalam-dari-Euclid tentang dinamika klasik, dan apresiasi yang lebih dalam-dari-Hilbert tentang dinamika kuantum.

Itulah sebabnya mengapa tantangan matematika dan peluang penelitian yang terkait dengan dinamika klasik dan kuantum tidak pernah lebih besar daripada saat ini. Yang mana yang bagus!