Bagaimana menemukan siklus yang, bersama-sama, melibatkan jumlah terbesar tepi yang tidak dibagi dalam grafik terarah?


26

Saya bukan ahli teori ilmu komputer, tetapi saya pikir masalah dunia nyata ini ada di sini.

Masalah

Perusahaan saya memiliki beberapa unit di seluruh negeri.

Kami menawarkan kepada karyawan kemungkinan untuk bekerja di unit lain. Tetapi ada syaratnya: Jumlah total pekerja pada suatu unit tidak dapat berubah.

Itu berarti: Kami akan mengizinkan karyawan untuk meninggalkan unitnya jika seseorang menginginkan tempatnya.

Data permintaan contoh (fiktif):

Name            Origin    Destination
Maria              1  ->  2
Marcos             2  ->  3
Jones              3  ->  4
Terry              4  ->  5
Joe                5  ->  6
Rodrigo            6  ->  1
Barbara            6  ->  1
Marylin            1  ->  4
Brown              4  ->  6
Benjamin           1  ->  3
Lucas              4  ->  1

Di atas, diplot: Visualisasi dari data di atas

Lihat bagaimana kita harus memilih antara opsi merah, biru atau hitam?

Masalah sebenarnya sedikit lebih kompleks, karena kami memiliki 27 unit dan 751 permintaan. Silakan lihat visualisasi

Hasil

Setelah mengumpulkan semua permintaan, bagaimana memuaskan sebagian besar dari mereka?

Aplikasi Teori (?)

Memiliki grafik , biarkan setiap unit menjadi simpul V dan permintaan menjadi ujung terarah E , pertukaran yang berhasil akan mengambil bentuk cyle terarah.G(V,E)VE

Setiap siklus harus menggunakan hanya sekali ( pekerja tidak dapat meninggalkan unitnya dua kali ), tetapi dapat mengunjungi V beberapa kali ( unit dapat memiliki banyak pekerja yang ingin pergi ).EV

Pertanyaan

Jika masalah ini dinyatakan sebagai

"Bagaimana menemukan siklus yang, bersama-sama, melibatkan jumlah terbesar tepi yang tidak dibagi dalam grafik yang diarahkan"?

Apakah kita akan memuaskan sebagian besar pemohon?

Itu benar, ada algoritma untuk menemukan set siklus yang optimal?

Akankah pendekatan greddy ini menyelesaikan masalah?

  1. Temukan siklus terarah terbesar di ;G
  2. Hapus tepi itu dari ;G
  3. Ulangi 1 sampai tidak ada siklus terarah pada ;G

Bisakah kamu membantuku?

Apakah Anda tahu cara lain untuk menggambarkan masalah asli (membuat sebagian besar pemohon senang)?

Sunting : departemen diubah ke unit, untuk lebih menggambarkan masalah.


3
Anda yakin ingin menghindari menggunakan tepi yang sama lebih dari satu kali? Dari uraian aplikasi Anda, tampak bagi saya bahwa Anda harus menghindari menggunakan simpul yang sama lebih dari sekali, yang merupakan kondisi yang lebih kuat.
Tsuyoshi Ito

3
@ TsuyoshiIto: Seperti yang saya mengerti dari deskripsi, kondisinya adalah bahwa pada setiap titik, indegree harus sama dengan outdegree. Jadi, vertex-disjointness tidak diperlukan.
Yoshio Okamoto

7
Omong-omong, jika pemahaman saya benar, masalahnya harus dipecahkan dalam waktu polinomial melalui aliran jaringan. Yaitu, jika kita memberikan unit laba untuk unit aliran di sepanjang sisi, dan kami memberikan kapasitas unit di setiap sisi, masalahnya adalah menemukan sirkulasi laba maksimum.
Yoshio Okamoto

3
Posting ini membahas generalisasi masalah Anda okasaki.blogspot.co.uk/2008/03/what-heck-is-math-trade.html (anggap setiap orang memiliki satu item untuk diperdagangkan, yaitu penempatan pekerjaan mereka).
Radu GRIGore

4
Pertanyaan yang luar biasa, membuat kita merasa seperti apa yang kita lakukan benar-benar dapat digunakan dalam kehidupan nyata :)
Gopi

Jawaban:


9

OK, saya membaca kode TradeMaximizer dan saya percaya ini memecahkan masalah yang lebih umum.

MASALAH: Diberikan adalah grafik terarah yang busurnya memiliki biaya. Temukan satu set siklus disintegrasi titik yang memaksimalkan jumlah simpul tertutup terlebih dahulu, dan meminimalkan total biaya kedua.

Untuk menyelesaikan pertanyaan yang diajukan di sini, buat simpul menjadi karyawan dan tarik busur biaya unit saat x ingin pekerjaan y . Perhatikan bahwa karyawan sekarang menjadi simpul, bukan ujung. Yang menyenangkan adalah bahwa seorang karyawan dapat mengatakan "Aku benar-benar menginginkan pekerjaan y , tetapi z juga akan melakukannya".xyxyyz

Larutan:

  1. Buat grafik bipartit sebagai berikut: Untuk setiap simpul dalam grafik asli, perkenalkan simpul kiri x L , simpul kanan x RxxLxR , dan busur yang biayanya sangat besar (lebih besar dari jumlah biaya dalam dokumen asli) grafik). Untuk setiap busur x y dalam grafik asli, perkenalkan busur x Ly R dalam grafik bipartit.xLxRxyxLyR

  2. Temukan pencocokan sempurna biaya minimum dalam grafik bipartit.

Ada beberapa preprocessing dari grafik asli juga: Hapus busur antara SCC, kemudian proses semua SCC dengan ukuran seperti yang ditunjukkan di atas.>1

(Faktanya, TradeMaximizer mengulangi semua solusi optimal, sesuai dengan dua kriteria di atas, untuk mengoptimalkan hal-hal lain secara heuristik, seperti lamanya siklus terbesar. Siklus besar meningkatkan kemungkinan "kesepakatan" tidak terjadi karena satu seseorang berubah pikiran.)

PS: Penulis, Chris Okasaki, mengkonfirmasi bahwa ini adalah apa yang dilakukan oleh kode, kembali di posting blog .


Saya berhasil menemukan solusi untuk masalah asli menggunakan TradeMaximizer. Saya akan memposting detais besok.
motobói

@ motobói, tapi yang perlu Anda lakukan adalah apa yang saya tulis di paragraf kedua ...
Radu GRIGore

Saya menemukan penjelasan tentang algoritma ini: boardgamegeek.com/wiki/page/TradeMaximizer
motobói

Bisakah Anda menjelaskan atau mengarahkan ke penjelasan tentang mengapa perlu untuk menghapus busur di antara Komponen Kuat Terkoneksi?
motobói

@ motobói, Ini adalah optimasi (untuk kasus rata-rata). Langkah (1) dan (2) harus memadai.
Radu GRIGore

22

Ini adalah masalah sirkulasi biaya minimum standar. Berikan masing-masing kapasitas tepi terarah dan biaya - 1 . Maka sirkulasi yang layak adalah jumlah (yaitu, persatuan) dari siklus diarahkan-disjoint edge, dan biaya sirkulasi adalah negasi dari jumlah edge.11

Karena semua biaya dan kapasitas dibatasi oleh konstanta, algoritma pembatalan siklus sederhana akan menemukan sirkulasi yang diperlukan dalam waktu polinomial. Ini hampir sama dengan algoritma serakah yang jelas:

while G has any negative-cost directed cycles
    γ = arbitrary negative-cost directed cycle
    reverse every edge in γ
    negate the cost of every edge in γ
return the subgraph of reversed edges

Di sini, biaya siklus adalah jumlah dari biaya ujungnya. Siklus biaya negatif dapat ditemukan menggunakan algoritma jalur terpendek Bellman-Ford dalam waktu . Setiap iterasi mengurangi biaya sirkulasi saat ini dengan setidaknya 1. awal sirkulasi (kosong) memiliki biaya 0 , dan sirkulasi akhir memiliki biaya setidaknya - E . Dengan demikian, algoritme berakhir setelah paling banyak E iterasi, sehingga total waktu menjalankannya paling banyakO(VE)0EEO(VE2)

Ini bukan algoritma tercepat yang dikenal.


pikir ini berfungsi selama seseorang tidak ingin bekerja di lebih dari satu "unit", kan? menggunakan ungkapan pertanyaan asli. tetapi jika orang ingin bekerja di lebih dari satu unit, curiga abstraksi ini rusak. OP menyatakan masalah dalam hal hanya satu unit, tetapi ini tampaknya agak artifisial bagi saya. [manusia apa yang hanya memiliki satu preferensi ...?]
vzn

1
Apa itu "orang" dan "unit"? Ini adalah pertanyaan tentang grafik.
Jeffε

Saya bingung: Apakah contoh saya bukan contoh balasan untuk algoritma ini? Setelah memilih C, siklus C_1 dan C_2 bukan lagi siklus (karena setiap siklus memiliki satu tepi terbalik); C tidak akan digunakan lagi karena memiliki biaya positif setelah membalikkan ujungnya dan tidak ada siklus baru yang diperkenalkan. Apakah kita berbicara tentang masalah yang sama? Senang memiliki formulasi matematis masalah.
FiB

3
CCC1C2CCC1C2C=C1+C2C

rupanya "unit" adalah sesuatu seperti "departemen" dan pengguna mencatat permintaan untuk transfer antar departemen [bukan posisi spesifik di departemen]? Diagram FIBs tampaknya memiliki unit sebagai simpul dan ujung sebagai permintaan empl antara unit. FiB-- "akan senang memiliki rumusan matematis dari masalah" .. itu benar-benar terserah Anda untuk memberikan perumusan yang tepat .. Anda tampaknya setengah jalan di sana ..
vzn

4

Pendekatan serakah ini tidak akan selalu memberikan solusi terbaik.

Cn{(v1,v2),,(vn,v1)}C1C2n1C .

CnC1C2 masing-masing kehilangan satu sisi dan tidak ada siklus lagi.

C1C22(n1)=2n2

Selain: Daripada menambahkan dua siklus pada contoh di atas, Anda dapat menambahkan n2 siklus yang membuat solusi serakah lebih buruk.


-3

mungkin ada cara / rumus teori grafik untuk menyelesaikan ini, tetapi masalah ini terdengar lebih seperti masalah permutasi bagi saya di mana sebagian dari semua permutasi ditolak dan yang lainnya valid. permutasi adalah karyawan dan posisi adalah "posisi" di perusahaan. permutasi ditolak jika tidak sesuai dengan persyaratan "orang [x] yang menginginkan posisi [y]". perbedaan batas unit / depts / org tampaknya agak berlebihan untuk solusi dalam kasus ini.

jenis masalah permutasi dengan kendala ini dapat dengan mudah dikonversi menjadi turunan dari masalah SAT (satisfiability). penugasan variabel boolean mewakili karyawan, dan klausa kendala mewakili batasan "orang [x] menginginkan posisi [y]". ada contoh klasik terdekat ini, yang biasanya disebut masalah "meja makan" di mana Anda memiliki posisi duduk dan tamu dan tidak semua tamu ingin duduk bersebelahan (atau sangat mirip beberapa tamu ingin duduk di sebelah tamu lain).

dan tentu saja ada pemecah SAT canggih untuk contoh cukup besar yang melibatkan sekitar hingga ratusan variabel dan klausa, pada PC, dan jika masalahnya bukan "sulit", dalam ribuan.

lihat misalnya [1] untuk referensi profesional dan [2] untuk latihan kelas. ada juga beberapa kemiripan struktural dengan apa yang dikenal sebagai "masalah pigeonhole" yang dipelajari dengan baik di lingkaran SAT di mana merpati ditugaskan untuk lubang pigeon dan Anda memiliki lebih banyak atau lebih sedikit lubang daripada merpati. dalam hal ini bagaimanapun juga, merpati secara umum dianggap saling dipertukarkan. dengan kata lain masalah meja makan adalah seperti masalah lubang merpati dengan kendala yang lebih kuat dan tamu / merpati memerlukan preferensi.

perhatikan tentu saja / perlu diingat bahwa untuk jenis masalah ini, tergantung pada kendala jawabannya mungkin "tidak ada solusi yang dibatasi seperti itu".

[1] algoritma meja makan, oleh crato

[2] CS402 prinsip HW SAT

[3] Masalah kepuasan, wikipedia


Saya mencoba permutasi menggunakan trademaximizer. Mengatur karyawan sebagai pengguna ingin berdagang unitnya X untuk unit Y . Tetapi perangkat lunak tidak akan memungkinkan lebih dari satu pengguna memperdagangkan item yang sama (unitnya). Setiap item harus unik. Untuk mengakomodasi ini, saya harus memiliki, katakanlah, [(Jones) ingin memperdagangkan Unit-C-James untuk Unit-D-Laura atau Unit-D-Sergio atau Unit-D-Mary]
motobói
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.