Kompleksitas memutuskan apakah sebuah matriks benar-benar teratur

Matriks disebut benar-benar teratur jika semua submatrians kuadratnya memiliki peringkat penuh. Matriks seperti itu digunakan untuk membangun superkonsentrator. Apa kompleksitas memutuskan apakah matriks yang diberikan benar-benar teratur di atas rasionalitas? Lebih dari bidang yang terbatas?

Lebih umum, panggil sebuah matriks yang sama sekali reguler jika semua ukuran persegi dari kebanyakan memiliki peringkat penuh. Diberikan matriks dan parameter , apa kompleksitas menentukan apakah matriks tersebut benar-benar reguler? $k$ $k$ $k$ $k$

— Markus Bläser
sumber

Sebuah pertanyaan mendasar: apa yang Anda maksud ketika Anda mengatakan matriks reguler? Terima kasih!

— Henry Yuen

maksud Anda setiap submatrix adalah non-tunggal? saya ingat ada pertanyaan serupa yang saya tidak dapat temukan sekarang

— Sasho Nikolov

Memang, ada tiga makna reguler yang berbeda: en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix

— Suresh Venkat

ah, temukan pertanyaan terkait: cstheory.stackexchange.com/questions/10962/… . pertanyaan Anda lebih cocok dengan komentar yang saya buat di sana: ini adalah varian yang lebih mudah dari pertanyaan (AFAIK terbuka lebar) dari pengujian pihak isometry terbatas.

— Sasho Nikolov

Pada bidang berhingga, pengujian apakah matriks adalah regular sama dengan memeriksa apakah matriks generator kode memiliki jarak minimum (yaitu, apakah itu MDS). Bahkan perkiraan faktor konstan untuk menemukan jarak kode minimum sulit. Periksa makalah ini ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf dan referensi di dalamnya.

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— Dimitris

Jawaban:

Makalah Vandermonde Matriks, NP-Kelengkapan, dan Subruang Transversal [ps] oleh Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits dan Pascal Koiran mungkin relevan dengan pertanyaan Anda (meskipun tidak menjawabnya).

Mereka membuktikan -kelengkapan dari masalah berikut: Diberikan matriks lebih dari ( ), putuskan apakah ada submatrix yang determinannya menghilang. $\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— Bruno
sumber

Terima kasih, Bruno! Tidak bisakah kami mengurangi masalah jawaban Anda untuk masalah saya dengan pengurangan acak (lebih dari rasional)? Cukup tambahkan baris acak. Jika matriks baru tidak sepenuhnya teratur, maka ia mengandung -submatrix tunggal dalam baris pertama dengan probabilitas tinggi. Ah tidak. Submatrix bisa lebih kecil. Tapi mungkin orang bisa membuat ini berhasil ...

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

— Markus Bläser

Ya, masalah Anda pada dasarnya setara dengan satu (Posisi Umum) di Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits dan kertas Pascal Koiran .

Pertimbangkan matriks , . Tanpa kehilangan sifat umum, asumsikan bahwa dan yang pertama $n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$

— leonid gurvits
sumber

Ada masalah NP-Lengkap lain dalam semangat yang sama: untuk matriks kuadrat untuk memutuskan apakah semua submatrices utamanya (yaitu baris dan kolom dari set yang sama) adalah nonsingular. Fakta aneh lainnya: jumlah kuadrat dari determinan semua submatrices persegi itu mudah (hanya Det (I + AA ^ {T})), tetapi jumlah nilai absolutnya adalah # P-Complete.

— leonid gurvits
sumber