Mencari masalah yang bagus di dalam SC tetapi tidak di dua level pertama

The Kompleksitas kebun binatang tidak memiliki banyak tentang $\mathsf{SC}$ . Saya mencari masalah † bagus yang ada di level hirarki yang lebih tinggi, yaitu masalah di D T i m e S p a c e ( n O ( 1 ) , lg O ( 1 ) n ) tetapi tidak diketahui sebagai dalam D T i m e S p a c e ( n O ( 1 )$^\dagger$$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^{O(1)} n)$$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2n)$ .

Sebagai pertanyaan sampingan, apakah ada alasan yang diketahui mengapa menemukan contoh masalah yang bagus di tingkat hierarki yang lebih tinggi ( $\mathsf{AC}$ , $\mathsf{NC}$ , $\mathsf{SC}$ , $\mathsf{PH}$ , dll.) Lebih sulit daripada tingkat pertama?

meskipunbagusbukan istilah matematika, saya pikir kita secara intuitif memahami artinya, misalnya menerima masalah untuk NTM adalah masalah buatan yang orang tidak tertarik untuk itu selain karena lengkap untuk N P , sementara masalah pewarnaan grafik menarik sebelum diketahui memiliki / melengkapi untuk N P dan masih menarik selain dari kelas kompleksitas miliknya.$\dagger$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Saya tidak punya saran untuk masalah alami di , tapi saya punya saran untuk pertanyaan sampingan Anda, mengapa menemukan seperti itu masalah tampaknya sulit. Saya pikir ini ada hubungannya dengan ide-rakyat bahwa orang hanya dapat benar-benar memahami (atau mungkin hanya tertarik pada? Atau keduanya?) Matematika yang beberapa alternatif bilangan dalam. Sebagai contoh, definisi limit adalah dua quantifiers deep (untuk semua epsilon terdapat delta ...); definisi " L ∈ N $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)}, \log^4 n)$$L \in \mathsf{NP}$"adalah dua bilangan (ada mesin sedemikian sehingga untuk semua input ...), dan pernyataan" "adalah tiga bilangan dalam.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Sehubungan dengan , ini agak ditanggung oleh fakta bahwa ada banyak masalah alam yang N P -Lengkap, banyak masalah alam yang Σ 2 P -Lengkap, dan hanya beberapa masalah alami yang dikenal yang Σ 3 P -complete (lihat ringkasan oleh Schaefer dan Umans ). Masalah alam yang paling dikenal lengkap untuk tingkat yang lebih tinggi dari P H berasal dari logika itu sendiri, yang kurang mengejutkan karena dalam satu logika yang diberikan sering memiliki gagasan " $\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{\Sigma_2 P}$$\mathsf{\Sigma_3 P}$$\mathsf{PH}$$k$-banyak pergantian kuantifikasi, "atau setidaknya beberapa cara alami untuk mensimulasikannya. Ini mungkin masuk dalam kategori yang sama dengan" menerima masalah untuk NTM, "yang telah Anda nyatakan" tidak cukup baik "untuk pertanyaan ini.

Mungkin juga layak disebutkan bahwa hal yang sama terjadi di dunia komputabilitas, yang mungkin menyarankan bahwa hal itu lebih banyak berhubungan dengan pemahaman kita tentang bilangan bolak-balik dan lebih sedikit dengan kompleksitas per se. Banyak masalah alam yang dikenal -Lengkap (setara dengan masalah terputus-putus), dan banyak masalah alam diketahui lengkap untuk tingkat kedua dan ketiga dari hirarki aritmatika. Tetapi ketika Anda pergi ke tingkat yang lebih tinggi dari hierarki aritmatika semakin sedikit dan lebih sedikit masalah alami yang diketahui lengkap untuk tingkat-tingkat tersebut. Saya tidak yakin saya tahu lengkap masalah alami untuk Σ 0 4 , dan saya tidak pernah mendengar tentang lengkap masalah alami untuk Σ 0 $\mathsf{\Sigma^0_1}$$\mathsf{\Sigma^0_4}$$\mathsf{\Sigma^0_5}$ (meskipun mungkin ada).

Berkenaan dengan batas ruang polylogarithmic, saya pikir alasan yang sama berlaku, tetapi bahkan lebih dari itu. Karena , bahkan masalah yang ada di level "beberapa pertama" dari " N L hirarki" semua sebenarnya dalam N L (hirarki runtuh ), yang terkandung dalam ruang log-squared.$\mathsf{NL} = \mathsf{coNL} \subseteq \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$