Penyempurnaan perkiraan pasangan untuk analisis jaringan

Ketika mempertimbangkan interaksi pada jaringan, biasanya sangat sulit untuk menghitung dinamika secara analitis , dan perkiraan digunakan. Perkiraan bidang-rata biasanya berakhir dengan mengabaikan struktur jaringan sepenuhnya, dan karenanya jarang merupakan perkiraan yang baik. Suatu pendekatan yang populer adalah aproksimasi pasangan, yang mempertimbangkan korelasi yang melekat di antara simpul-simpul yang berdekatan (secara intuitif kita dapat menganggapnya sebagai jenis perkiraan bidang-rata-rata pada tepian).

Perkiraannya tepat jika kita mempertimbangkan grafik Cayley, dan sangat bagus jika kita melihat grafik acak regular. Dalam praktiknya ini juga memberikan perkiraan yang baik untuk kasus-kasus ketika kita memiliki grafik acak dengan derajat rata-rata k dan distribusi derajat yang ketat di sekitar k . Sayangnya, banyak jaringan dan interaksi yang menarik, tidak dimodelkan dengan baik oleh grafik semacam ini. Mereka biasanya dimodelkan dengan baik oleh grafik dengan distribusi derajat yang sangat berbeda (seperti jaringan bebas-skala, misalnya), dengan koefisien pengelompokan spesifik (dan tinggi) , atau rata-rata jarak jalur terpendek tertentu (untuk lebih lanjut, lihat Albert & Barabasi 2001 ) .$k$$k$$k$

Apakah ada penyempurnaan perkiraan pasangan yang bekerja dengan baik untuk jenis jaringan ini? Atau adakah perkiraan analitik lain yang tersedia?

Contoh interaksi pada jaringan

Saya pikir saya akan memberikan contoh tentang apa yang saya maksud dengan interaksi di jaringan. Saya akan memasukkan contoh yang relatif umum dari teori permainan evolusioner.

Anda dapat menganggap setiap simpul sebagai agen (biasanya diwakili hanya oleh strategi), yang memainkan beberapa permainan tetap secara berpasangan dengan masing-masing agen yang memiliki keunggulan. Dengan demikian, jaringan yang diberikan dengan beberapa penugasan strategi untuk setiap node menghasilkan imbalan untuk setiap node. Kami kemudian menggunakan hadiah ini dan struktur jaringan untuk menentukan distribusi strategi di antara node untuk iterasi berikutnya (Contoh umum mungkin untuk setiap agen untuk menyalin tetangga dengan hasil tertinggi, atau beberapa varian probabilistik dari ini). Pertanyaan-pertanyaan yang biasanya kami minati berkaitan dengan mengetahui jumlah agen dari setiap strategi dan bagaimana hal itu berubah dari waktu ke waktu. Seringkali kita memiliki distribusi yang stabil (yang kemudian ingin kita ketahui, atau perkiraan) atau kadang-kadang membatasi siklus atau bahkan binatang buas yang lebih eksotis.

Jika kita melakukan pendekatan bidang-rata pada model semacam ini, kita menggunakan dapatkan persamaan replikator sebagai dinamika kita, yang terang-terangan mengabaikan struktur jaringan dan hanya akurat untuk grafik lengkap. Jika kita menggunakan pendekatan pasangan (seperti Ohtsuki & Nowak 2006 ) kita akan mendapatkan dinamika yang sedikit berbeda (itu sebenarnya akan menjadi dinamika replikator dengan matriks hasil yang dimodifikasi, di mana modifikasi tergantung pada tingkat grafik, dan spesifik dari langkah pembaruan) yang cocok dengan simulasi untuk grafik acak, tetapi tidak untuk jaringan lain yang menarik.

Untuk fisika yang lebih seperti contoh: ganti agen dengan putaran dan panggil matriks hasil interaksi Hamiltonian, lalu dinginkan sistem Anda sambil melakukan pengukuran acak berkala.

Catatan dan pertanyaan terkait

• Generalisasi langsung dari aproksimasi pasangan dari jenis yang mempertimbangkan jenis aproksimasi bidang rata-rata pada tripel, atau empat kali lipat node) sulit digunakan dan masih tidak memperhitungkan distribusi derajat yang sangat berbeda atau rata-rata jarak jalur terpendek.

• Sumber untuk Teori Permainan Evolusi Algoritma

Secara umum, Anda mungkin tertarik pada metode spektral dalam teori grafik, karena mereka adalah alat yang ampuh. Anda dapat menganalisis nilai eigen dari matriks adjacency grafik (atau matriks Laplacian grafik ).

Metode seperti itu tidak hanya memperhitungkan sifat-sifat lokal grafik (misalnya distribusi derajat) tetapi juga global (misalnya konektivitas, ada atau tidak adanya jalan pintas). Secara khusus, spektrum terkait langsung dengan jumlah pasangan, segitiga dan jalur terpendek (lihat referensi kedua).

Sebagai referensi (saya hanya membaca sekilas tentang mereka, tetapi mereka terlihat berguna):

• S. Boccaletti et al. (Phys Rep 2006), jaringan yang kompleks: Struktur dan dinamika (atau di sini )
• K.-I. Goh et at. (PRE 2001), Spectra dan vektor eigen dari jaringan bebas skala, arXiv: cond-mat / 0103337

Cara Anda merumuskan pertanyaan Anda membuatnya terdengar seperti Anda peduli dengan dinamika, tetapi karena apa yang Anda cari tampaknya merupakan solusi kondisi mapan, kondisi dasar tampaknya menjadi cara yang lebih produktif untuk turun.

$\frac{1}{2}(|00\rangle \langle 00| + |11\rangle \langle 11|).$

Juga, saya tidak yakin apakah ini jenis yang Anda cari atau tidak, tetapi ada beberapa hasil baru-baru ini pada realisasi jaringan skala-bebas, menunjukkan bahwa mereka menunjukkan dua transisi fase yang tampaknya baru saja diterima untuk PRL. Pracetak berjudul "Semua jaringan bebas skala jarang" dapat ditemukan sebagai arXiv: 1106: 5150 .

Dua hal yang mungkin ingin Anda lihat:

Teori Permainan Algoritma Ch. 7: Game Grafis

Fluktuasi dalam Permainan Evolusi

Yang pertama membahas bagaimana menemukan keseimbangan dalam permainan atau sistem putaran seperti yang Anda gambarkan. Meta-strategi tertentu untuk adopsi strategi (khususnya yang identik dengan Gibbs Sampling yang mengarah ke keseimbangan berkorelasi) memungkinkan analisis yang sangat umum dan dapat ditelusuri.

Upaya kedua untuk memprediksi fluktuasi besar atau perubahan "norma" dalam model teori permainan evolusi menggunakan teori penyimpangan besar. Contoh-contoh yang ditangani adalah skala kecil, tetapi penulis berusaha membuat mesin matematika yang ia gunakan sebagai umum dan sekuat mungkin, sehingga mungkin berlaku untuk kasus Anda.