Persamaan Guru dan Formulir Jumlah Operator

12

Saya lebih dari seorang pria kuantum optik daripada seorang pria info kuantum, dan menangani terutama dalam persamaan induk. Saya tertarik pada bentuk jumlah operator, dan saya ingin mendapatkan kesalahan dalam formulir ini untuk sistem kuantum kecil yang saya simulasi.

Tangkapan: Sistem kuantum digerakkan oleh medan eksternal (klasik) yang dimodelkan dengan fungsi sinusoidal, dan laju redamannya rendah, jadi saya tidak bisa membuat perkiraan gelombang berputar untuk menghilangkan ketergantungan waktu ini. Mengingat bahwa saya harus menyelesaikan persamaan induk secara numerik dengan integrasi, dan hasil dari setiap integrasi pada waktu tidak cukup informasi untuk mencari tahu kesalahan ini, dan saya perlu melakukan beberapa pekerjaan untuk memulihkan matriks superoperator yang telah beroperasi pada kepadatan vektor. matriks. yaitu saya memberi makan persamaan induk matriks kerapatan yang di vektorisasi dengan entri tunggal 1 dan sisanya nol, dan membangun matriks seperti itu untuk waktu tertentu . Apakah saya di jalur yang benar di sini (pemeriksaan kewarasan)? Lebih eksplisit, jika $t$ $\tau$ adalah bentuk vektor (jadi vektor kolom) dari matriks kerapatan dengan entri tunggal 1 pada posisi , pada yang telah berevolusi ke waktu , kemudian sebuah matriks untuk mengambil bentuk vektor dari matriks densitas dari ke diberikan sebagai $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ $i,j$ $t=0$ $\tau$ $t=0$ $t=\tau$ . $\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

Pertanyaan: Diberikan kepada superoperator ini, yang melakukan $\mathbf{M}$ , bagaimana saya bisa mendapatkan operator Krauss untuk jumlah yang setara dengan operator dari yang ada dalam bentuk yang bermanfaat? yaitu sistem yang dimaksud adalah qubit atau qutrit dan qubit atau qutrit lain. Saya ingin dapat melakukan penjumlahan operator dalam bentuk produk tensor dari spin matrix pada setiap saluran jika memungkinkan. $\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$ $\mathbf{M}$

Pertanyaan sampingan: Apakah matriks Choi? $\mathbf{M}$

Catatan akhir: Saya memberikan penghargaan kepada Pinja, karena saya menggunakan kertas yang disarankan Pinja. Saya telah memberikan jawaban sendiri di bawah ini yang mengisi rinciannya.

quantum-information

— qubyte
sumber

Apa yang Anda maksud dengan "sistem yang dimaksud adalah qubit atau qutrit dan qubit atau qutrit lain." - apa "sistem lain"? Apakah Anda berbicara tentang ancilla yang diperlukan untuk mengimplementasikan saluran ini menggunakan unitarian + tracing? Jika demikian, perhatikan bahwa dimensi ancilla dapat mencapai D ^ 2, sehingga qubit tidak akan melakukannya.

— Norbert Schuch

Tidak, saat ini hanya model mainan yang terdiri dari dua sistem kuantum kecil yang digabungkan, dan memiliki waktu T1 dan T2 yang berbeda. Jawaban atas pertanyaan ini bukan masalah serius. Ini lebih menarik, karena bisa berguna untuk mengetahui lebih banyak tentang bagaimana melakukan ini di masa depan.

— qubyte

Bisakah saya mendapatkan pertanyaan ini dimigrasikan ke Teori CS daripada Fisika?

— qubyte

Yah ... saya pikir ini akan baik-baik saja di sini, tapi oke.

— David Z

Terima kasih. Maaf, hanya bukan penggemar berat Fisika. SE, dan lagi pula, saya pikir pertanyaan QI yang berorientasi penelitian lebih cocok di sini (setelah diyakinkan).

— qubyte

9

Saya bekerja pada masalah yang sangat mirip pada tesis Master saya, di mana saya mempelajari dinamika non-Markovian dari qubit yang digerakkan dalam lingkungan disipatif. Ketertarikan saya adalah memeriksa bahwa persamaan utama yang saya peroleh benar-benar positif, tetapi ini hanyalah satu sisi dari masalah Anda. Pertanyaannya ternyata sangat tidak sepele jika tidak ada RWA yang dibuat, tetapi saya bisa mendapatkan beberapa hasil menggunakan Ref. [ J Mod. Memilih. 54, 1695 (2007) ] dan mengeksploitasi fakta bahwa qubit lemah digabungkan dengan lingkungan. Saya akan mengalahkan drum saya dan juga memberikan Ref. ke artikel tempat saya menyajikan beberapa hasil ini, [P. Haikka dan S. Maniscalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)] , Anda mungkin merasa berguna.

Ah! Ternyata saya sudah melihat kertas Andersson selama beberapa hari sekarang. Tampaknya memang sangat menjanjikan, dan memberikan resep paling konkret. Saya suka memiliki metode untuk diterapkan ke masalah. Sejujurnya, saya perlu mencari waktu untuk benar-benar duduk dan melihat ini. Ini lebih dari proyek pribadi saat ini.

— qubyte

7

Referensi yang diberikan untuk menjawab mekanika Quantum sebagai proses Markov - khususnya on-line Carlton Caves mencatat "Peta yang benar-benar positif, peta positif, dan formulir Lindblad " - survei gagasan fisik dan alat matematika yang membantu menjawab pertanyaan.

$M$ $M$ $M$ $M$ secara numerik diberikan secara keseluruhan.

$M$

Jika pertanyaan seperti ini dapat dijawab secara efisien dengan "memutar engkol algoritmik", maka fisika kuantum akan menjadi subjek yang jauh lebih menarik! :)

— John Sidles
sumber

Ini adalah apa yang saya harapkan bukan itu masalahnya, tetapi saya pikir akan terjadi. Sayangnya sistem hanya memiliki simetri yang dapat dieksploitasi dalam kasus hanya dephasing tanpa depopulasi. Ada bentuk yang sangat menarik dari persamaan induk Lindblad yang mengumpulkan istilah yang bukan dari bentuk Krauss menjadi Hamiltoninan non-hermitian, yang untuk kasus tidak adanya ketergantungan waktu pada Hamiltonian dapat digunakan untuk memilih dasar yang secara alami mengekspresikan pembusukan. sebagai istilah Krauss yang tersisa. Rapi, tapi tidak ada bantuan untukku.

— qubyte

Salah satu referensi dalam catatan Caves adalah Wolf and Cirac Dividing saluran kuantum (arXiv: math-ph / 0611057), yang saya rekomendasikan tanpa jaminan sekecil apa pun untuk secara pribadi memahami masalah informatika kuantum (banyak dan halus) yang dibahas dalam artikel ini! :)

M

$\mathbf{M}$

M

$\mathbf{M}$

6

Saya pikir apa yang mungkin Anda cari adalah ini: Matriks Kepadatan Nyata . Ini memberi Anda resep untuk mengkonversi antara berbagai representasi superoperator (termasuk menggunakan basis produk tensor dari Paulis). Sebuah eksperimen tomografi proses kuantum terperinci yang memanfaatkan hasilnya ada di sini: Tomografi Proses Kuantum dari Quantum Fourier Transform . Lebih umum, Havel juga telah menurunkan algoritma untuk mengkonversi ke representasi Kraus minimal di sini: Prosedur untuk Konversi di antara Lindblad, Kraus dan Representasi Matriks dari Quantum Dynamical Semigroups .

${\rm vec}(\rho)$ $\rho$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$ ${\rm col}(\rho)$ ${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$ ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

C = \sum_{i, j} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) M^{r o w} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1),

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$

C = \sum_{i, j} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1) M^{c o l} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) .

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$

{| i ⟩ ⟨ j | \otimes | k ⟩ ⟨ l |}

$\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

— Chris Ferrie
sumber

Ini menarik, bisa jadi persis apa yang saya cari ...

— qubyte

Saya baru saja melihat tambahan Anda. Terima kasih, ini sangat berguna. Saya awalnya mengambil versi vec Anda, tetapi sekarang saya menggunakan kolom yang ditumpuk. Terima kasih Wikipedia untuk yang itu. Mungkin saya harus mengadopsi notasi Anda untuk kejelasan.

— qubyte

4

Seperti yang dicatat Pinja, sebuah makalah oleh Andersson et al. ( arXiv ) ( DOI ) telah sangat berguna. Makalah ini masuk ke banyak detail, dan saya akhirnya duduk hari ini untuk melihatnya dengan benar. Sebagai contoh masalah, saya memilih dua qubit dengan interaksi pertukaran untuk memeriksa ini yang merupakan versi minimal dari apa yang saya pertimbangkan. Untuk memulai, persamaan utama diberikan oleh

\dot{ρ} = Λ (ρ) .

$\dot\rho = \Lambda(\rho).$

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ $1/2$ $G_i$ $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

L_{n, m} = T r [G_{n} Λ (G_{m})] .

$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$

Jika kita berurusan dengan persamaan induk sebagai matriks yang bekerja pada operator kepadatan vektor seperti yang dibahas dalam pertanyaan, maka ini dapat dinyatakan sebagai

L_{n, m} = v e c (G_{n})^{†} Λ v e c (G_{m}),

$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$

yang memungkinkan L diturunkan dalam persamaan matriks tunggal, tapi itu mendapatkan sedikit topik.

$L$ $F$ $\phi$

F (t) = \exp (L t) .

$F(t) = \exp(Lt).$

$F$ $S$

S_{a, b} = \sum_{n, m} F_{m, n} T r [G_{n} G_{a} G_{s} G_{b}] .

$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$

Akhirnya, bagian yang indah.

ρ_{t} = ϕ_{n, m} (ρ_{0}, t) = S_{n, m} (t) G_{n} ρ_{0} G_{m}^{†}

$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$

$S$ $\Lambda$ $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

Ini bekerja dalam kasus independen waktu untuk berhenti dan qutrits seperti yang diharapkan. Saya perlu memeriksa apakah ini berfungsi dalam kasus ketergantungan waktu.

— qubyte
sumber