Büchi automata dengan strategi penerimaan

Masalah

Mari menjadi robot Büchi, mengakui bahasa . Kami berasumsi bahwa memiliki strategi penerimaan dalam arti berikut: ada fungsi yang dapat digunakan untuk percontohan berjalan dari . Kami meresmikan ini dengan ketentuan sebagai berikut: $A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$ $L\subseteq\Sigma^\omega$ $A$ $\sigma:\Sigma^*\to Q$ $A$

$\sigma(\epsilon)=q_0$
untuk semua dan , $u\in\Sigma^*$ $a\in\Sigma$ $(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$
untuk semua , run yang dikemudikan oleh menerima, yaitu urutan memiliki tak terhingga banyaknya elemen dalam . $w=a_0a_1a_2\dots\in L$ $\sigma$ $\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$ $F$

Untuk menggolongkan persyaratan, dapat menerima kata apa pun dari bahasanya tanpa harus menebak apa pun tentang masa depan. $A$

Kemudian, di bawah asumsi-asumsi tentang , apakah benar bahwa dapat ditentukan hanya dengan menghapus transisi? Dengan kata lain, bisakah kita selalu memilih transisi berikutnya tergantung hanya pada keadaan dan huruf saat ini? Apakah ada referensi tentang masalah ini? Pertanyaan yang sama kemudian dapat ditanyakan pada co-Büchi automata, dan lebih umum pada parity automata. $A$ $A$

Apa yang diketahui?

Inilah beberapa hasil parsial.

Pertama, kita dapat membatasi pilihan ke nondeterminstic antara negara yang memiliki residu yang sama, Memang, jika adalah bahasa yang diterima dari , strategi penerimaan tidak dapat memilih atas di beberapa titik, jika ada . $\sigma$ $L(q)$ $q$ $q_1$ $q_2$ $w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

Perhatikan bahwa pilihan yang tersisa memang penting, jadi terlepas dari intuisi, ini tidak cukup untuk menyingkirkan nondeterminisme. Ini karena dimungkinkan untuk tetap ad infinitum di residu yang baik (yaitu sisa kata di residu), tetapi tolak kata tersebut karena tidak banyak negara Büchi yang terlihat. Ini adalah kesulitan utama dari masalah: menjalankan yang tak terbatas dapat salah, tanpa membuat kesalahan fatal di beberapa titik.

Kedua, masalah ini diselesaikan jika , yaitu semua kata diterima oleh . Dalam hal ini, kita dapat melihat sebagai game Büchi di mana Player I memilih huruf input dan Player II memilih transisi. Kemudian kita dapat menggunakan penentuan posisi dari game Büchi untuk mengekstrak strategi posisi untuk Player II. Argumen ini bahkan berfungsi dalam kasus paritas automata yang lebih umum. Kesulitan masalah ini berasal dari kenyataan bahwa beberapa kata tidak dalam , dan dalam hal ini strategi dapat memiliki perilaku apa pun. $L=\Sigma^\omega$ $A$ $A$ $L$ $\sigma$

Ketiga, di sini adalah bukti bahwa di bawah asumsi, bahasa adalah di kelas bahasa Büchi deterministik, disaksikan oleh robot dengan negara-negara . Perhatikan bahwa ini menyiratkan bahwa tidak dapat setiap bahasa -regular, misalnya jika , ada strategi cocok dengan kondisi bisa eksis. $L$ $2^Q$ $L$ $\omega$ $L=(a+b)^*a^\omega$ $\sigma$

Kita mulai dengan membatasi transisi sesuai dengan komentar pertama: satu-satunya pilihan yang dapat kita buat tidak berdampak pada bahasa residual. Kami hanya mengambil penerus dengan sisa maksimum, mereka harus ada karena ada. $\sigma$

Kemudian, kita membangun dengan cara berikut. adalah subset otomat , tetapi setiap kali status Büchi muncul dalam komponen, semua status lainnya dapat dihapus dari komponen, dan kita mulai lagi dari singleton . Kemudian kita dapat mengatur $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$ $A'$ $A$ $q$ $\{ q\}$ $F'=\{\{ q\} : q\in F\}$ . Kami dapat memverifikasi bahwa adalah robot Büchi deterministik untuk . $A'$ $L$

Akhirnya, dengan menyusun komentar kedua dan ketiga, kita selalu dapat memperoleh strategi-memori terbatas , dengan menggunakan strategi posisi untuk Player II dalam game mana Player I memilih huruf, Player II memilih transisi dalam dan menang jika menerima setiap kali menerima. $\sigma$ $A\times A'$ $A$ $A$ $A'$

— Denis
sumber

Tulis

untuk otomat (deterministik) dengan transisi dihilangkan. Mari

menjadi kata dalam

. Maka dengan kondisi Anda

adalah run dari

dan menerima, dengan demikian

. Sebaliknya, setiap run menerima

khususnya menjalankan menerima

, dengan demikian

A_{σ}

$A_\sigma$

w = w_{0} w_{1} \dots

$w=w_0w_1\cdots$

L

$L$

σ (w_{0}) σ (w_{0} w_{1}) \dots

$\sigma(w_0)\sigma(w_0w_1)\cdots$

A_{σ}

$A_\sigma$

L \subseteq L (A_{σ})

$L\subseteq L(A_\sigma)$

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

L (A_{σ}) \subseteq L

$L(A_\sigma)\subseteq L$

— Sylvain

@ Silvain: Transisi mana yang dihapus?

— Dave Clarke

Saya mengasumsikan Anda memanggil

otomat

terbatas pada transisi yang digunakan dalam strategi

. Masalahnya adalah Anda tidak memiliki jaminan bahwa

bersifat deterministik. Misalnya menganggap

dan

, maka

tidak deterministik.

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

σ

$\sigma$

A_{σ}

$A_\sigma$

σ (a) = σ (ϵ) = q_{0}

$\sigma(a)=\sigma(\epsilon)=q_0$

σ (a a) = q_{1}

$\sigma(aa)=q_1$

A_{σ}

$A_\sigma$

— Denis

Saya juga mempostingnya di mathOverflow, dengan rincian lebih lanjut tentang pekerjaan sebelumnya di sini: mathoverflow.net/questions/97007/… , apakah boleh ?

— Denis

Umumnya posting silang tidak diperbolehkan, kecuali jika seseorang belum menerima jawaban setelah waktu yang cukup. Mengingat ada hadiah terbuka untuk pertanyaan ini, saya akan menunggu beberapa hari. Anda dapat menghapus posting lain dan membukanya dalam beberapa hari. (Juga, postingan lain harus terhubung dengan yang ini.)

— Dave Clarke

Ternyata jawabannya tidak, beberapa contoh tandingan dapat ditemukan dalam tulisan ini .

— Denis
sumber

Terima kasih untuk pembaruan, tetapi tidak jelas! tim apa? apakah mereka menerbitkan? berencana untuk? bagaimana kamu mendengar bagaimana mereka menemukannya? adakah alasan mereka mencarinya? apakah ini keingintahuan teoretis atau terhubung dengan masalah atau aplikasi yang lebih besar? dll

— vzn

lihat jawaban ini untuk lebih jelasnya: cstheory.stackexchange.com/a/24918/8953

— Denis

-1

Seperti yang Anda tunjukkan, Buchi automata yang non-deterministik dan deterministik menerima bahasa yang berbeda. 'Penentuan' paling terkenal untuk otomat Buchi diberikan oleh Safra (cari "konstruksi Safra" di web. Berikut ini satu dokumen yang muncul: www.cs.cornell.edu/courses/cs686/2003sp/Handouts/safra.pdf) . Prosedurnya cukup rumit dan melibatkan transformasi yang diberikan otomat Buchi menjadi otomat Rabin deterministik (memiliki 'menerima' keadaan F dan 'menolak' kondisi G: \ sigma hanya memiliki banyak keadaan secara terbatas di G). Konstruksi Safra melibatkan lebih dari sekadar menghapus transisi dan / atau konstruksi subset biasa.

— Sudeep
sumber

σ

$\sigma$ . Saya sudah menunjukkan bahwa kelas ini memiliki kekuatan yang sama dengan kelas Büchi automata deterministik, dan saya menggambarkan prosedur penentuan yang disederhanakan (di bagian "apa yang diketahui"). Dugaannya adalah bahwa ada prosedur penentuan yang jauh lebih sederhana untuk kelas ini, yang terdiri hanya dalam menghilangkan beberapa transisi.

— Denis