Tutup waktu dan celah spektral untuk jalan acak reversibel

Saya mencari teorema yang mengatakan sesuatu seperti ini: jika waktu tutup rantai Markov reversibel kecil, maka celah spektral besar. Di sini celah spektral berarti $1-|\lambda_2|$, yaitu, kami mengabaikan nilai eigen terkecil dari rantai.

$O(n \log n)$$1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$$n^{-1}$

Secara intuitif, tampaknya sangat masuk akal bahwa jika Anda dapat menutupi semua simpul grafik dengan cepat, maka waktu pencampuran harus kecil. Secara khusus, jika Anda dapat mencakup semua simpul grafik dalam waktu $n^2$ , tentunya Anda harus dapat mengesampingkan kesenjangan spektral, katakanlah, $n^{-1000}$ ?

Salah satu hambatan yang mungkin akan mematahkan implikasi antara waktu tutupan kecil dan kesenjangan spektral besar adalah bipartiteness: pada grafik bipartit, Anda dapat memiliki waktu tutupan kecil dengan nilai eigen $-1$ . Dengan dalam pertanyaan saya, saya melewati masalah ini dengan mengabaikan nilai eigen terkecil.

Secara kasar, waktu pencampuran adalah waktu memukul terburuk dari setengah simpul. Waktu tutup adalah waktu berhenti ketika SEMUA himpunan bagian dari simpul dipukul. Dengan kata lain, itu selalu lebih besar daripada waktu pencampuran. Dengan demikian adalah contoh Anda salah satu tidak bisa memiliki waktu pencampuran dan penutup waktu . $n^{1000}$$n^2$

Membuat intuisi ini tepat memerlukan sedikit kehati-hatian karena kita perlu menghubungkan waktu pencampuran dengan celah nilai eigen, mengambil bukan setengah simpul tetapi separuh distribusi stasioner , dll. Semua ini tidak sulit. Mulailah dengan makalah ini oleh Lovasz dan Winkler, yang memberikan versi waktu pencampuran di atas dan menghubungkannya dengan waktu pencampuran yang lebih standar dalam variasi total. $\pi$