Isomorfisme subgraph yang tidak sempurna

Pertimbangkan masalah berikut: Diberikan grafik kueri $G = (V, E)$ dan grafik referensi , kami ingin menemukan pemetaan injeksi yang meminimalkan jumlah ujung-ujungnya sedemikian sehingga . Ini adalah generalisasi dari masalah isomorfisme subgraph $G' = (V', E')$ $f : V \rightarrow V'$ $(v_1, v_2) \in E$ $(f(v_1), f(v_2)) \notin E'$ di mana kita membiarkan subgraf menjadi isomorfik hingga beberapa tepi yang hilang dan ingin menemukan cara untuk meminimalkan jumlah tepi yang hilang.

$(v_1, v_2) \in V^2$ $w(v_1, v_2)$ $(v_1, v_2) \notin E)$ $G'$ $\sum_{v_1, v_2} (\max(0, w(v_1, v_2) - w(f(v_1), f(v_2))))$ $\max$ ada untuk hanya menghukum bobot dari grafik kueri yang lebih besar dari pada grafik referensi).

Pertanyaan saya adalah: Apakah masalah ini sudah dipelajari? Apakah itu memiliki nama yang terkenal? Apakah ada algoritma perkiraan yang diketahui efisien?

Motivasi dari masalah ini (terlepas dari kenyataan bahwa itu tampak seperti generalisasi alami dari masalah isomorfisme subgraph) adalah bahwa itu adalah cara yang bagus untuk membuat rencana tabel untuk pesta: grafik kueri adalah grafik tamu dengan bobot tepi mewakili sejauh mana dua orang ingin berinteraksi, grafik referensi memiliki kursi meja sebagai simpul dan bobot tepi menunjukkan sejauh mana komunikasi dimungkinkan, solusi dari masalah adalah pemetaan dari orang ke kursi meja yang menghormati struktur sosial untuk sejauh mungkin.

— a3nm
sumber

Mengapa Anda perlu "diinduksi" dalam judul?

— Yota Otachi

@Yota Otachi: Karena saya kacau. Terima kasih!

— a3nm

Masalah Anda adalah Maksimum Common Edge Subgraph Problem (Max CES) yang didefinisikan sebagai berikut: diberi dua grafik dan , cari grafik dengan jumlah ujung maksimum yang isomorfik ke subgraf dan ke subgraf . $G$ $G'$ $H$ $G$ $G'$

Bukti : Anda menemukan subgraf dari isomorfik ke subgraf , di mana diminimalkan. Sejak adalah invarian dari , diminimalkan jika dan hanya jika dimaksimalkan. Jelaslah, isomorfis untuk subgraf dan subgraf $H$ $G$ $G'$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{G}|$ $G$ $|E_{G}| - |E_{H}|$ $|E_{H}|$ $H$ $G$ . QED $G'$

Aproksimasi. Dalam tesis Ph.D dari Kann, saya menemukan deskripsi "tidak diketahui dapat diperkirakan dalam konstanta" [3] (hal. 115). Dalam makalah baru-baru ini oleh Bahiense et al. [1], disebutkan bahwa jika dan tidak harus sama, masalahnya menjadi APX-keras. Tetapi kutipan untuk hasil ini adalah komunikasi pribadi yang tidak dipublikasikan [2]. $|V_{G}|$ $|V_{G'}|$

L. Bahiense, G. Manic, B. Piva, CC de Souza. Masalah subgraph tepi umum maksimum: Investigasi polihedral. Matematika Terapan Diskrit, untuk muncul. doi: 10.1016 / j.dam.2012.01.026
MM Halldorsson, Komunikasi pribadi, naskah yang tidak diterbitkan, 1994.
V. Kann. Tentang Perkiraan Masalah Optimalisasi NP-lengkap. Ph.D. Tesis, laporan NADA TRITA-NA-9206, 1992. http://www.nada.kth.se/~viggo/papers/phdthesis.pdf

— Yota Otachi
sumber

Sepertinya ini memang setara dengan masalah saya. Terima kasih banyak! Apakah Anda mengetahui hasil pada versi tertimbang dari Max CES?

— a3nm

max_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\max_{v_1,v_2} \max (\ldots)$

\sum_{v_{1}, v_{2}} max (\dots)

$\sum_{v_1,v_2} \max (\ldots)$ , right?

— Yota Otachi

Yes, the sum is more natural if we want to generalize the unweighted case, though I guess it could make sense to minimize the sum of squares or any function of the weight difference.

— a3nm

Thanks for editing. I agree, it's natural to use the sum of weight differences (or any function on it) as penalty.

— Yota Otachi