Membedakan antara status kuantum


11

Diberikan status kuantum dipilih secara acak dari sekumpulan negara campuran , berapakah probabilitas rata-rata maksimum untuk mengidentifikasi dengan benar ? N ρ 1 . . . ρ N AρANρ1...ρNA

Masalah ini dapat diubah menjadi dua masalah pembedaan status dengan mempertimbangkan masalah membedakan dari .ρ B = 1ρAρB=1N1iAρi

Saya tahu untuk dua keadaan kuantum masalah memiliki solusi yang bagus dalam hal jarak jejak antara negara ketika Anda meminimalkan probabilitas kesalahan maksimum daripada meminimalkan probabilitas kesalahan rata-rata, dan saya berharap bahwa mungkin ada sesuatu yang serupa untuk kasus ini. Tentu saja mungkin untuk menulis probabilitas dalam hal optimasi di atas POVM, tetapi saya berharap untuk sesuatu di mana optimasi telah dilakukan.

Saya tahu ada literatur besar tentang pembedaan status kuantum, dan saya telah membaca banyak makalah selama beberapa hari terakhir mencoba menemukan jawaban untuk pertanyaan ini, tetapi saya mengalami kesulitan menemukan jawaban untuk ini variasi masalah tertentu. Saya berharap seseorang yang tahu sastra lebih baik dapat menghemat waktu saya.

Sebenarnya, saya tidak perlu probabilitas yang tepat, batas atas yang baik akan berhasil. Namun, perbedaan antara satu negara dan negara campuran maksimal cukup kecil, sehingga ikatan harus berguna dalam batas itu.


1
Karena probabilitas jawaban yang benar adalah nilai maksimum dari program semidefinite, sering kali berguna untuk mempertimbangkan dual untuk mendapatkan batas atas.
Tsuyoshi Ito

@ TsuyoshiIto: Memang, tapi saya menduga bahwa masalah ini telah dipelajari dengan baik dan mungkin ada hasil kalengan.
Joe Fitzsimons

1
Apakah Anda tahu jika pertanyaan analog untuk distribusi probabilitas klasik memiliki jawaban yang bagus? Hasil "jejak jarak" yang Anda sebutkan adalah generalisasi dari penggunaan "jarak statistik" (alias "total variasi jarak") untuk distribusi klasik. [Dalam kasus klasik, strategi alami adalah memilih distribusi yang paling mungkin menghasilkan output tertentu. Anda dapat menuliskan formulir tertutup untuk probabilitas keberhasilannya, meskipun saya tidak tahu apakah itu dapat dinyatakan dalam jumlah yang sederhana (seperti jarak rata-rata antara distribusi).]
Adam Smith

1
@ AdamSmith: Tampaknya secara klasik Anda dapat mempertimbangkan setiap distribusi dengan probabilitas terjadinya dan kemudian memilih yang paling mungkin untuk memberikan hasil yang Anda amati.
Joe Fitzsimons

Jawaban:


10

Seperti yang Anda sebutkan, adalah mungkin untuk menentukan probabilitas keberhasilan rata-rata yang optimal secara numerik, yang dapat dilakukan secara efisien melalui pemrograman semidefinite (lihat misalnya makalah ini oleh Eldar, Megretski dan Verghese atau catatan kuliah ini oleh John Watrous), tetapi tidak ada ekspresi bentuk tertutup. dikenal.

Namun, ada beberapa batas atas dan bawah yang diketahui pada probabilitas kesalahan (yaitu 1 minus probabilitas keberhasilan rata-rata). Dalam hal kesetiaan berpasangan, probabilitas kesalahan dalam pengaturan Anda diketahui lebih rendah oleh , dan dibatasi oleh .21N2i>jF(ρi,ρj)2Nsaya>jF(ρsaya,ρj)1/2

Ada juga batas bawah lainnya yang diketahui dalam hal jarak jejak: , yang mengurangi ke batas Helstrom yang tepat dalam kasus . Lihat makalah ini untuk perbandingan semua ini, dan beberapa batasan lainnya juga. Perhatikan bahwa semua batas ini bertahan dalam pengaturan kasus rata-rata di mana ada distribusi probabilitas sebelumnya pada negara.N=212(1-1N(N-1)saya>jtr|ρsaya-ρj|)N=2


Luar biasa, terima kasih Ashley. Batas bawah pada probabilitas kesalahan dalam hal jarak jejak cukup banyak persis apa yang saya cari. Sebenarnya, rencana cadangan saya jika saya gagal mendapatkan jawaban yang baik di sini adalah mengirim email kepada Anda, karena saya tahu Anda telah mengerjakan hal ini.
Joe Fitzsimons

Apakah ada batasan yang bekerja dengan baik dalam batas probabilitas kesalahan mendekati 1? Satu jejak jarak tampaknya maks di 1/2. Saya sedang mencoba kesetiaan saat ini, tetapi saya tidak berpikir saya benar-benar dapat menghitung kesetiaan dalam masalah yang sedang saya kerjakan, dan batasan yang Anda berikan tampaknya sangat sensitif terhadap kesalahan aditif.
Joe Fitzsimons

Sebenarnya, batas bawah kesetiaan juga tampaknya maksimal di 1/2. Saya berharap sesuatu yang lebih kuat, karena saya ingin membuktikan probabilitas kesalahan adalah sesuatu seperti untuk sangat kecil . ϵ1-ϵϵ
Joe Fitzsimons
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.