Penggunaan kuasi-PER / hubungan difungsional / hubungan zig-zag?


15

Diberikan himpunan dan B , hubungan difungsional ( ) A × B di antara mereka didefinisikan sebagai hubungan yang memuaskan properti berikut:SEBUAHB ()SEBUAH×B

Jika dan a b dan a b , maka a b . SebuahbSebuahbSebuahbSebuahb

Relasi difungsional adalah generalisasi konsep relasi ekuivalensi parsial yang memungkinkan seseorang untuk mendefinisikan gagasan persamaan dari set yang berbeda . Akibatnya, mereka juga dikenal sebagai quasi-PERs (QPERs), dan mereka juga dikenal sebagai hubungan zig-zag, karena gambar berikut:gambar zig-zag

Saya menulis makalah yang menggunakan mereka, tetapi saya mengalami kesulitan melacak referensi yang baik untuk digunakan dalam semantik.

  1. Martin Hoffman menggunakannya dalam Koreksi Transformasi Program Berbasis Efek .
  2. Saya telah melihat menyebutkan (tetapi tidak ada referensi yang baik) mengklaim bahwa Tennant dan Takeyama telah mengusulkan penggunaannya juga.

Mereka adalah ide yang cukup bagus sehingga saya kesulitan mempercayai penggunaan khusus saya atas mereka adalah asli. Saya akan sangat menghargai referensi lebih lanjut.


Johan van Benthem menggunakan istilah hubungan zig-zag dalam disertasinya untuk gagasan berbeda yang mirip dengan bisimulasi.
Vijay D

Mereka yang bertanya-tanya bagaimana Neel menggunakan QPER (seperti saya) mungkin ingin melihat "Internalisasi Relasional Parametrisitas dalam Kalkulus Konstruksi Ekstensional" dari dia dan Dreyer.
Blaisorblade

Jawaban:


8

Makoto Takeyama dan saya mengirim yang berikut ke data-refinement@etl.go.jp pada 5 Januari 1996:

Subjek: apa itu hubungan perbaikan data?

Yang terhormat: ada yang masih tertarik dengan perbaikan data?

Baru-baru ini Mak dan saya telah melihat kembali sebuah ide yang kami pertimbangkan beberapa bulan yang lalu. Motivasinya adalah untuk mengkarakterisasi hubungan logis yang relevan untuk menunjukkan perbaikan data. Ini dirangsang oleh kesadaran bahwa hubungan logis dapat digunakan untuk menunjukkan "keamanan" dari interpretasi abstrak (lihat Bagian 2.8 bab oleh Jones dan Nielson dalam volume 4 dari Buku Pegangan Logika dalam CS), tetapi hubungan seperti itu lebih umum daripada yang digunakan untuk menunjukkan perbaikan data.

Alasan saya adalah sebagai berikut. Jika relasi R membuat penyempitan data antara (di antara) set, maka itu harus menginduksi hubungan (parsial) kesetaraan pada masing-masing set, dengan kelas-kelas kesetaraan ini dalam korespondensi satu-ke-satu, dan setiap elemen dari kelas ekivalensi harus terkait dengan semua elemen kelas ekivalensi yang sesuai di domain interpretasi lainnya. Idenya adalah bahwa setiap kelas ekivalensi mewakili nilai "abstrak"; dalam interpretasi yang sepenuhnya abstrak, kelas ekivalensi adalah lajang.

Kita dapat memberikan kondisi sederhana untuk memastikan bahwa relasi n-ary R menginduksi struktur ini. Tentukan v ~ v 'dalam domain V jika jika ada nilai x di beberapa domain X lainnya (dan nilai arbitrer ... di domain lain) sedemikian rupa sehingga R (..., v, ..., x, ... ) dan R (..., v ', ..., x, ...). Ini mendefinisikan hubungan simetris pada masing-masing domain. Memberlakukan transitivitas lokal kemudian akan memberi kita pers di setiap domain, tetapi ini tidak cukup karena kami ingin memastikan transitivitas lintas interpretasi. Kondisi berikut mencapai ini: jika v_i ~ v'_i untuk semua i, maka R (..., v_i, ...) iff R (..., v'_i, ...) Saya menyebutnya "zig- zag kelengkapan "; dalam kasus n = 2, dikatakan bahwa jika R (a, c) & R (a ', c') maka R (a, c ') iff R (a', c).

Dalil. Jika R dan S adalah hubungan lengkap zig-zag, begitu juga R x S dan R -> S.

Dalil. Misalkan t dan t 'adalah istilah tipe th dalam konteks pi, dan R adalah hubungan logis zig-zag lengkap; kemudian, jika penilaian ekivalensi t = t 'ditafsirkan sebagai berikut:

untuk semua u_i di V_i [[pi]],
R ^ {pi} (..., u_i, ...) menyiratkan bahwa, untuk semua i, V_i [[t]] u_i ~ V_i [[t ']] u_i

interpretasi ini memenuhi aksioma dan aturan yang biasa untuk logika persamaan.

Intuisi di sini adalah bahwa istilahnya harus "setara" baik dalam interpretasi tunggal (V_i) dan lintas interpretasi; yaitu, makna t dan t 'berada dalam kelas ekivalensi yang diinduksi-R yang sama, tidak peduli interpretasi mana yang digunakan.

Pertanyaan:

  1. Adakah yang pernah melihat struktur seperti ini sebelumnya?

  2. Apa generalisasi alami dari gagasan-gagasan ini terhadap proposisi lain dan kategori semantik "semena-mena"?

Bob Tennent rdt@cs.queensu.ca


6

Saya tidak tahu tentang bidang semantik, tetapi konsep yang Anda sebutkan sangat penting dalam kompleksitas penghitungan.

RRmm(x,y,y)=m(y,y,x)=xxy

FF

ΓΓΓΓ


Lebih tepatnya, konsep ini ekuivalen dengan memiliki polimorfisme Mal'tsev untuk hubungan biner, tetapi memiliki polimorfisme Mal'tsev secara alami dapat diterapkan pada setiap aritas sedangkan formulasi ini khusus untuk hubungan biner. Juga, hanya untuk menekankan: ini tidak hanya berlaku untuk penghitungan, tetapi untuk studi aljabar kelas hubungan. Misalnya, polimorfisme Mal'tsev sangat penting dalam studi bahasa kendala traktabel (yang merupakan kelas hubungan) bahkan tanpa adanya pertimbangan penghitungan.
András Salamon

@ AndrásSalamon Jawaban saya tentang hubungan terner, bukan hubungan biner. Bagaimana Anda mendefinisikan polimorfisme Mal'tsev untuk hubungan selain terner?
Tyson Williams

Polimorfisme diterapkan secara komponen. Arity dari tuple tidak masalah.
András Salamon

k3

Saya tidak yakin apa yang Anda keberatankan, tetapi saya mengatakan bahwa " memiliki polimorfisme Mal'tsev" dapat diterapkan pada setiap kegiatan.
András Salamon
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.