Pada entropi jumlah

12

Saya mencari terikat pada entropi dari jumlah dari dua variabel acak diskrit independen dan . Tentu, Namun, diterapkan dengan jumlah dari independen Bernoulli variabel acak , ini memberikan $H(X+Y)$ $X$ $Y$

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) (*)

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) ~~~~~~(*)$

n

$n$

Z_{1}, \dots, Z_{n}

$Z_1, \ldots, Z_n$

Dengan kata lain, batas tumbuh secara linier dengan

ketika diterapkan berulang kali. Namun,

didukung pada serangkaian ukuran

, sehingga entropinya paling banyak adalah

. Bahkan, dengan teorema limit sentral, aku menduga bahwa

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) \leq n H (Z_{1})

$H(Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n) \leq n H(Z_1)$

n

$n$

Z_{1} + \dots Z_{n}

$Z_1 + \cdots Z_n$

n

$n$

\log n

$\log n$

karena pada dasarnya didukung pada set ukuran

H (Z_{1} + \dots + Z_{n}) \approx (1 / 2) \log n

$H(Z_1 + \cdots + Z_n) \approx (1/2) \log n$

.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

Singkatnya, batas dilampaui oleh sedikit dalam situasi ini. Dari membaca dengan teliti posting blog ini , saya mengumpulkan segala macam batasan pada adalah mungkin; apakah ada batasan yang memberikan asimptotik yang tepat (atau, paling tidak, asimptotik yang lebih masuk akal) ketika diterapkan berulang kali pada jumlah variabel acak Bernoulli? $(*)$ $H(X+Y)$

it.information-theory shannon-entropy

— Robinson
sumber

2

Saya tidak yakin apa yang sebenarnya Anda tanyakan. Jika Anda ingin batas atas H (X + Y) dalam hal H (X) dan H (Y) yang berlaku untuk dua variabel acak diskrit independen X dan Y, maka H (X + Y) ≤H (X ) + H (Y) jelas yang terbaik yang bisa Anda dapatkan; pertimbangkan kasus di mana jumlah x + y semuanya berbeda ketika x berkisar di atas dukungan X dan y berkisar di atas dukungan dari Y. Jika Anda menerapkan ikatan umum ini ke kasus yang sangat khusus, maka wajar jika Anda mendapatkan terikat longgar.

— Tsuyoshi Ito

1

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) - \dots

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) - \ldots$

n

$n$

1

H (X + Y) \leq 3 H (X - Y) - H (X) - H (Y)

$H(X+Y) \leq 3 H(X-Y) - H(X) - H(Y)$

2

Itu berarti bahwa apa yang Anda cari bukanlah batas atas H (X + Y) dalam hal H (X) dan H (Y) . Harap edit pertanyaan.

— Tsuyoshi Ito

1

Z_{i}

$Z_i$

n

$n$

19

$X$ $A$ $2^{H(X)}$ $Y$ $B$ $2^{H(Y)}$

$|A+B|$ $|A|$ $|B|$ $|A+B| \sim |A|\cdot |B|$ $H(X+Y) \sim H(X)+H(Y)$

$|A+B| \ll |A|\cdot |B|$ $A$ $B$ $|A+B|$ $(G,+)$ $|A+B|=O(|A|+|B|)$ $A,B$ $G$

$A$ $[a..b]$ $B$ $[0..c]$ $(1/2)\log n$ $c=1$ $a=0$ $b=k$ $k=1,...,n-1$ $a \sim k-\sqrt{k}$ $b \sim k+ \sqrt{k}$ $|A+B| \leq |A|+c$

— Boaz Barak
sumber

5

$n$ $Z_1,Z_2,...,Z_n$ $p$ $Z_1+Z_2+...+Z_n$ $np$ $np$ $\frac{1}{2}\log n + O(\log n)$

— VSJ
sumber

0

Mungkin Anda bisa menggunakan Persamaan:

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) = H (Z_{1}) + H (Z_{2}) + \dots + H (Z_{n}) - H (Z_{1} | Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) - H (Z_{2} | Z_{2} + Z_{3} + \dots + Z_{n}) - \dots - H (Z_{n - 1} | Z_{n - 1} + Z_{n})

$H(Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)=H(Z_1)+H(Z_2)+\cdots+H(Z_n)-H(Z_1|Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)-H(Z_2|Z_2+Z_3+\cdots+Z_n)-\cdots-H(Z_{n-1}|Z_{n-1}+Z_n)$

Ini akan terlihat seperti istilah yang Anda sebutkan di komentar, sayangnya saya tidak tahu hasil tentang kardinalitas istilah negatif atau batasan wawasan pada mereka.

— Rick
sumber