EDIT (PEMBARUAN): Batas bawah dalam jawaban saya di bawah ini telah terbukti (dengan bukti berbeda) dalam "Tentang kerumitan perkiraan tur penjual keliling Euclidean dan pohon merentang minimum", oleh Das et al; Algorithmica 19: 447-460 (1997).
apakah mungkin untuk mencapai bahkan rasio perkiraan seperti untuk beberapa ϵ > 0 dalam waktu o ( n log n ) menggunakan algoritma berbasis perbandingan?O(n1−ϵ)ϵ>0o(nlogn)
Tidak. Ini batas bawah.
Klaim. Untuk , setiap perbandingan berbasis
n 1 - ϵ algoritma-aproximation membutuhkan perbandingan Ω ( ϵ n log n ) dalam kasus terburuk.ϵ>0n1−ϵΩ(ϵnlogn)
Dengan "berbasis perbandingan" maksud saya algoritma apa pun yang hanya menanyakan input dengan permintaan biner (Benar / Salah).
Ini adalah upaya untuk membuktikan. Semoga tidak ada kesalahan. FWIW batas bawah tampaknya cenderung meluas ke algoritma acak.
Perbaiki sembarang dan sembarang kecil tetapi konstan ϵ > 0 .nϵ > 0
Anggap saja instance input "permutasi"
( x 1 , x 2 , ... , x n )
yang merupakan permutasi dari [ n ] . Solusi optimal untuk setiap instance tersebut memiliki biaya n - 1 .n !( x1, x2, ... , xn)[ n ]n - 1
Tentukan biaya permutasi
menjadi c ( π ) = ∑ i | π ( i + 1 ) - π ( i ) | . Model algoritma sebagai mengambil input permutasi π , mengeluarkan permutasi π ′ , dan membayar biaya d ( π , π ′ ) = c ( π ′ ∘ π ) .πc ( π) = ∑saya| π( I + 1 ) - π( i ) |ππ′d(π,π′)=c(π′∘π)
Tentukan sebagai jumlah minimum perbandingan untuk setiap algoritma berbasis perbandingan untuk mencapai rasio kompetitif n 1 - ϵ pada contoh-contoh ini. Karena opt adalah n - 1 , algoritma harus menjamin biaya paling banyak n 2 - ϵ .Cn1−ϵn−1n2−ϵ
Kami akan menunjukkan .C≥Ω(ϵnlogn)
Tentukan sebagai, untuk kemungkinan output π ′ , fraksi dari kemungkinan input yang mana output π ′
akan mencapai biaya paling banyak n 2 - ϵ . Fraksi ini tidak bergantung pada π ′ .Pπ′π′n2−ϵπ′
juga sama dengan probabilitas bahwa, untuk permutasi acak π , biayanya c ( π ) paling banyak n 2 - ϵ . (Untuk melihat alasannya, anggap π ′ sebagai permutasi identitas I. Kemudian P adalah fraksi input yang paling banyak
d ( π , I ) paling banyak n 2 - ϵ , tetapi d ( π , I ) = c ( π ) . )Pπc(π)n2−ϵπ′IPd(π,I)n2−ϵd(π,I)=c(π)
Lema 1. .C≥log21/P
Bukti. Perbaiki semua algoritma yang selalu menggunakan perbandingan kurang dari Pohon keputusan untuk algoritma memiliki kedalaman kurang dari log 2 1 / P , jadi ada kurang dari 1 / P daun, dan, untuk beberapa permutasi output π ′ , algoritma memberikan π ′ sebagai output untuk lebih dari fraksi P dari input. Menurut definisi P , untuk setidaknya satu input seperti itu, output π ′ memberikan biaya lebih dari n 2 - ϵ . QEDlog21/Plog21/P1/Pπ′π′PPπ′n2−ϵ
Lemma 2. .P≤exp(−Ω(ϵnlogn))
Sebelum kami memberikan bukti Lemma 2, perhatikan bahwa kedua lemma bersama-sama memberikan klaim:
C ≥ log21P = log2exp(Ω(ϵnlogn)) = Ω(ϵnlogn).
Bukti Lemma 2.
Biarkan menjadi permutasi acak. Ingat bahwa P sama dengan probabilitas bahwa biayanya c ( π ) paling banyak n 2 - ϵ . Katakanlah bahwa setiap pasangan ( i , i + 1 ) adalah tepi
dengan biaya | π ( i + 1 ) - π ( i ) | , jadi c ( π ) adalah jumlah dari biaya tepi.πPc(π)n2−ϵ(i,i+1)|π(i+1)−π(i)|c(π)
Misalkan .c(π)≤n2−ϵ
Kemudian, untuk apa pun , paling banyak n 2 - ϵ / q pada tepi memiliki biaya q atau lebih. Katakan bahwa tepi biaya kurang dari q yang murah .q>0n2−ϵ/qqq
Perbaiki . Mengganti dan menyederhanakan, paling tidak n 1 - ϵ / 2 dari tepi tidak murah.q=n1−ϵ/2n1−ϵ/2
Jadi, paling tidak tepinya murah. Jadi, ada himpunan S yang berisi n / 2 tepi murah.n−n1−ϵ/2≥n/2Sn/2
Klaim. Untuk setiap himpunan dari n / 2 edge, probabilitas bahwa semua edge di S adalah paling murah exp ( - Ω ( ϵ n log n ) ) .Sn/2Sexp(−Ω(ϵnlogn))
Sebelum kami membuktikan klaim, perhatikan bahwa itu menyiratkan lemma sebagai berikut. Dengan klaim, dan ikatan naif terikat, probabilitas bahwa ada yang ada set
paling banyak
( nS≤exp(O(n)-Ω(ϵnlogn))≤exp(-Ω(ϵnlogn)).
(nn/2)exp(−Ω(ϵnlogn)) ≤ 2nexp(−Ω(ϵnlogn))
≤ exp(O(n)−Ω(ϵnlogn)) ≤ exp(−Ω(ϵnlogn)).
Bukti Klaim.
Pilih dengan proses berikut. Pilih π ( 1 ) secara seragam dari [ n ] , lalu pilih π ( 2 ) secara seragam dari [ n ] - { π ( 1 ) } , lalu pilih π ( 3 ) secara seragam dari [ n ] - { π ( 1 ) , π ( 2 ) } , dll.ππ(1)[n]π(2)[n]−{π(1)}π(3)[n]−{π(1),π(2)}
Pertimbangkan setiap tepi di S . Pertimbangkan waktu tepat setelah π ( i ) telah dipilih, ketika π ( i + 1 ) akan dipilih. Terlepas dari pilihan i pertama (untuk π ( j ) untuk j ≤ i ), setidaknya ada n - i pilihan untuk π ( i + 1 ) , dan paling banyak 2 n 1(i,i+1)Sπ(i)π(i+1)iπ(j)j≤in−iπ(i+1) dari orang-orang pilihan akan memberikan tepi(i,i+1)
biaya kurang dari n 1 - ε / 2 (menjadikannya murah).2n1−ϵ/2(i,i+1)n1−ϵ/2
Dengan demikian, dikondisikan pada pilihan pertama , probabilitas bahwa tepi murah paling banyak 2 n 1 - ϵ / 2i . Dengan demikian, probabilitas bahwa semua
tepin/2diSadalah paling murah
∏(i,i+1)∈S2n 1 - ϵ / 22n1−ϵ/2n−in/2S
Sejak| S| ≥n/2, setidaknya adan/4tepi diS
dengann-i≥n/4. Dengan demikian, produk ini paling banyak
(2n 1 - ϵ / 2
∏(i,i+1)∈S2n1−ϵ/2n−i.
|S|≥n/2n/4Sn−i≥n/4(2n1−ϵ/2n/4)n/4 ≤ (8n−ϵ/2)n/4 = exp(O(n)−Ω(ϵnlogn)) = exp(−Ω(ϵnlogn)).
QED