Apakah BQP sama dengan BPP dengan akses ke subkelompok tersembunyi Abelian?

complexity-classes quantum-computing

— Jason
sumber

Sebenarnya ada cukup banyak pekerjaan pada masalah subkelompok tersembunyi non-Abelian dalam penelitian algoritma kuantum, jadi saya tentu berharap ini tidak terjadi!

— Joe Fitzsimons

@ Jo: Saya pikir sebagian besar pekerjaan pada HSP non-Abelian adalah untuk kelompok-kelompok yang entah bagaimana "dekat dengan Abelian" - tetapi tolong perbaiki saya jika saya salah, karena saya bukan ahli di bidang itu. Tetapi jika memang demikian, maka jawaban positif untuk pertanyaan tersebut mungkin tidak bertentangan dengan karya yang Anda maksud.

— Joshua Grochow

Jawaban:

Seperti banyak pemisahan kelas kompleksitas, tebakan terbaik kami adalah bahwa jawabannya adalah BPP ^ {HSP}! = BQP, tetapi kami hanya dapat membuktikan ini secara relatif relatif terhadap ramalan. Pemisahan ini diamati oleh Scott Aaronson dalam posting blog ini di mana ia mengamati bahwa percepatan pohon las Childs, Cleve, Deotto, Farhi, Gutmann dan Spielman tidak terkandung dalam SZK.

Di sisi lain, BPP ^ {HSP} adalah terkandung dalam SZK, setidaknya jika tujuannya adalah untuk menentukan ukuran subkelompok yang tersembunyi. Ini termasuk bahkan HSP abelian, meskipun saya tidak yakin bagaimana tepatnya menemukan generator subkelompok tersembunyi yang sewenang-wenang di SZK. Alasan kita dapat memutuskan ukuran subkelompok tersembunyi adalah bahwa jika f: G-> S memiliki subkelompok tersembunyi H, dan kami memilih g secara seragam secara acak dari G, maka f (g) secara acak seragam di atas sekumpulan ukuran | G | / | H |. Secara khusus, f (g) memiliki log entropi | G | - log | H |. Dan estimasi entropi ada di SZK.

— Aram Harrow
sumber

Saya tahu saya telah melihat posting blog tentang ini di suatu tempat!

— Joe Fitzsimons

Saya tidak tahu bagaimana orang akan membantah klaim seperti itu, tapi saya ragu itu benar. Kami memang memiliki percepatan eksponensial lainnya dengan algoritma kuantum yang tidak bergantung pada HSP Abelian. Selain itu, Abelian HSP tidak dikenal sebagai BQP-lengkap.

Di sisi lain, masalah yang dikenal sebagai BQP-lengkap adalah masalah seperti menghitung invarian Simpul, invarian berjenis lain, fungsi partisi dan melakukan simulasi Hamilton. Dengan ramalan untuk semua masalah ini , BPP akan sekuat BQP.

Akhirnya, saya yakin seseorang dapat membangun pemisahan oracle antara dua kelas yang Anda sebutkan, tetapi itu tidak akan menjadi cara yang adil untuk membandingkan mereka karena satu kelas dapat membuat kueri kuantum dan yang lainnya tidak, sehingga pemisahan hanya akan mencerminkan fakta ini .

— Robin Kothari
sumber

apa referensi tentang masalah dengan speedup superpolynomial yang tidak bergantung pada HSP Abelian?

— Marcos Villagra

pertanyaan yang lebih tepat adalah "apa referensi tentang masalah dengan percepatan superpolynomial yang tidak bergantung pada HSP sama sekali?"

— Marcos Villagra

Kebun binatang algoritma kuantum ( its.caltech.edu/~sjordan/zoo.html ) memiliki daftar besar algoritma dan referensi untuk masing-masing.

— Robin Kothari

@ Yosua: Pemisahan oracle itu baik-baik saja, karena mereka mencoba menunjukkan kekuatan kueri kuantum. Biarkan saya memberi contoh apa yang saya maksud. Jika ada algoritma polytime untuk 3SAT, dan biarkan algoritma ini disebut X. Jelas P ^ X mengandung NP. Namun, kita dapat membangun pemisahan oracle antara P ^ X dan NP, karena dalam kasus pertama hanya mesin P yang dapat mengakses oracle, dan pemisahan tersebut hanya mencerminkan fakta bahwa permintaan non-deterministik lebih baik daripada permintaan deterministik. Demikian pula, bahkan jika BPP ^ AHSP berisi BQP, kami dapat dengan mudah memisahkannya dengan oracle.

— Robin Kothari

Terima kasih atas semua jawabannya. Secara khusus, terima kasih telah mengingatkan saya tentang polinomial Jones dan HOMFLY, yang tidak ada hubungannya dengan HSP. Mengevaluasi polinomial Jones tepat pada akar persatuan kelima adalah # P-keras, tetapi mendekati mereka hingga beberapa fraksi epsilon dengan akurasi probabilistik ada di BQP.

— Jason

Saya harus setuju dengan Robin bahwa ini tidak selalu merupakan klaim yang mudah untuk dibantah, meskipun itu hampir pasti salah. Alasan langsung yang membuat saya ragu adalah bahwa perhitungan kuantum pos yang dipilih sama dengan PP, dan ini tampaknya mengisyaratkan bahwa statistik akan sulit untuk diciptakan kembali. Scott Aaronson memiliki makalah di STOC yang menunjukkan bahwa ada masalah hubungan oracle yang dapat dipecahkan dalam BQP tetapi tidak pada PH.

$BPP^{NP} = P^{\#P}$

— Joe Fitzsimons
sumber

P ^ {# P} = P ^ {PP}, jadi Anda bisa menggunakannya.

— Robin Kothari

Ya, itu akan menjadi hal yang cerdas untuk dilakukan!

— Joe Fitzsimons