Hasil menunjukkan ada / tidak adanya grafik terbatas dengan sifat-sifat yang dapat dihitung spesifik menyiratkan hasil kompleksitas tertentu

Adakah hasil yang diketahui yang menunjukkan bahwa keberadaan (atau tidak adanya) grafik berhingga dengan sifat komputabel spesifik menyiratkan hasil kompleksitas tertentu (seperti P = NP)?

Inilah satu hasil yang sepenuhnya hipotetis : Jika grafik berhingga ada dengan tepi terdistribusi A, B, C dan D sehingga semua pencocokan maksimum mengandung semua A, B, C, dan D, atau tidak mengandung A, B, C, dan D , lalu P = NP.

Salah satu hasil dari jenis ini dibuktikan oleh Lipton "Pada membuktikan bahwa grafik tidak memiliki klik besar: Sebuah koneksi dengan teori Ramsey" . Dia menghubungkan dugaan batas bawah dengan grafik murni hasil teoritis, menunjukkan bahwa jika tidak terkandung dalam c o N T I M E ( n O ( log n ) ) / ( log log n ) , maka inapproximability dari M A X - C L I Q U $NP$$coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$$MAX-CLIQUE$menyiratkan bahwa ada grafik dengan sifat teoretis Ramsey yang rapi. (Lihat makalah untuk definisi.) Saya tidak tahu apakah ada kemajuan telah dibuat untuk membuktikan apakah grafik tersebut benar-benar ada atau tidak.

Maaf, saya menemukan pertanyaan 1 tahun ini hanya sekarang ...

Bahkan, ada banyak hasil yang menunjukkan bahwa grafik eksplisit dengan beberapa properti menyiratkan batas bawah yang kuat untuk fungsi boolean. Katakanlah, grafik affine tinggi atau dimensi proyektif menyiratkan batas bawah yang kuat untuk formula dan program percabangan. Ada juga ukuran grafik yang "lebih sederhana", batas bawah yang baik yang akan memiliki konsekuensi besar dalam kompleksitas komputasi. Biarkan saya membuat sketsa dari mereka.

Lihat grafik sebagai set tepi. Mari menjadi jumlah terkecil s sehingga G dapat ditulis sebagai persimpangan ≤ s grafik, masing-masing yang merupakan gabungan dari ≤ s bicliques (grafik lengkap bipartit). Mudah menghitung menunjukkan bahwa s ( G ) ≥ n 1 / 2 untuk hampir semua bipartit n × n grafik. Tetapi dengan hasil Valiant, setiap grafik bipartit eksplisit G (lebih tepatnya, urutan grafik) dengan s ( G ) $s(G)$$s$$G$$\leq s$$\leq s$$s(G)\geq n^{1/2}$$n\times n$$G$ untuk konstanta c > 0 akan menyelesaikan masalah lama: akan memberikan fungsi boolean yang tidak dapat dihitung oleh sirkuit log-depth ukuran linier. Dugaan bahwa grafik padat tanpa K 2 , 2 memiliki s ( G ) besar .$s(G)\geq n^c$$c>0$$K_{2,2}$$s(G)$

Lebih baik lagi, misalkan menjadi jumlah terkecil dari penggabungan fanin- 2 dan operasi persimpangan yang cukup untuk menghasilkan G yang dimulai dengan bintang lengkap (grafik dari tipe K 1 , n atau K n , 1 ). Menghitung menunjukkan bahwa sebagian besar grafik memiliki S t a r ( G ) = Ω ( n 2 / log n ) . Tetapi setiap G dengan S t $Star(G)$$2$$G$$K_{1,n}$$K_{n,1}$$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$$G$ untuk konstanta c > 0 akan memberikan fungsi boolean eksplisit yang membutuhkan rangkaian ukuran eksponensial! Jika grafik memiliki dimensi m × n dengan m = o ( n ) , maka bahkan batas bawah S t a r ( G ) ≥ ( 2 + c ) n akan memiliki konsekuensi yang sama. Yang terbaik yang kita dapat menunjukkan sejauh ini adalah S t $Star(G)\geq (4+c)n$$c>0$$m\times n$$m=o(n)$$Star(G)\geq (2+c)n$ . $Star(G)\geq 2n-1$

Misalkan adalah bilangan terkecil t yang terdapat subset T ⊆ { 0 , 1 , … , t } dan urutan t bikli sedemikian rupa sehingga ( u , v ) if G iff jumlah bikli yang mengandung ( u , v ) milik T . Sekali lagi, penghitungan memberi S y m ( G ) ≥ n $Sym(G)$$t$$T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$$t$$(u,v)\in G$$(u,v)$$T$ untuk sebagian besar grafik. Tapi dengan hasil Yao, Beigel dan Tarui setiap grafik eksplisit dengan S y m ( G ) lebih besar dari 2 p o l y ( ln ln n ) akan memberi kita fungsi boolean luar A C C . Peringatan: yang "combinatorialy rumit" saja tidak berarti besar S y m ( G ) : terdapat sangat Ramsey grafik yang S y m ( G ) = O ( log $Sym(G)\geq n/2$$Sym(G)$$2^{poly(\ln\ln n)}$$ACC$$Sym(G)$ , bahkan jika T = set bilangan bulat ganjil.$Sym(G)=O(\log n)$$T$

Rincian lebih lanjut tentang bagaimana semua ini terjadi dapat ditemukan di sini .

Contoh klasik adalah oleh Valiant (saya tidak tahu referensi tapi saya pikir ini dijelaskan dalam buku Hoory, Linial dan Wigderson pada grafik expander ). Valiant menunjukkan batas bawah eksplisit (saya pikir fungsi eksplisit tertentu tidak memiliki rangkaian ukuran O ( n ) dan O ( log n $f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$$O(n)$$O(\log n)$kedalaman - sesuatu yang masih jauh dari membuktikan) dengan asumsi bahwa jenis grafik tertentu, yang disebut superconcentrator, tidak ada. (Ini adalah pertanyaan asimptotik, dan bukan hanya tentang satu grafik.) Namun ia kemudian menunjukkan bahwa ini memang ada (dan sebenarnya memiliki kegunaan lain)

Jawabannya tentu saja "ya" jika kita berbicara tentang keluarga grafik, bukan grafik tertentu. Misalnya, ada dugaan Mihail dan Vazirani bahwa semua grafik polioal 0/1 adalah ekspander tepi baik atau sangat baik (yaitu, bahwa ekspansi tepi mereka dibatasi di bawah oleh 1 / polinomial (derajat), atau 1).

Jika ini benar, maka ada yang efisien acak rantai Markov algoritma estimasi Monte Carlo untuk sejumlah kombinasi terbuka dan menghitung masalah melalui strategi pengambilan sampel Alon, Jerrum, dan Sinclair.

Dalam nada yang sama, jika ada keluarga grafik polipopal yang diameternya tumbuh lebih cepat daripada polinomial dalam jumlah segi dan derajat grafik, maka pemrograman linier tidak dapat diselesaikan dalam waktu yang sangat polinomial melalui algoritma edge-following.

Memperluas komentar Anand Kulkarni:

Misalkan ada mesin Turing deterministik M yang mengenali SAT dalam waktu polinomial. Maka hubungan transisi hingga M akan menjadi fungsi. Kita tahu TM yang mengenali SAT dalam waktu polinomial, tetapi hubungan transisi mereka tidak berfungsi. Perhatikan bahwa relasi transisi adalah grafik berarah bipartit dengan tupel (state, simbol tape) dalam satu bipartisi, tupel (state, simbol tape, move) di bipartisi lain, dan busur dari pasangan ke tripel.

Jadi sepele jika ada digraf yang berfungsi, maka P = NP.

Tentu saja, ini bukan definisi yang sangat alami, karena membutuhkan mesin tambahan untuk memberi makna pada persyaratan bahwa setiap jalur dalam ruang keadaan yang mencapai keadaan penerima memiliki panjang yang dibatasi oleh polinomial dalam ukuran input. Sama sekali tidak jelas seperti apa himpunan grafik berhingga yang merepresentasikan mesin Turing yang dibatasi-waktu, atau apakah grafik-grafik ini memiliki sifat teoretis-grafik yang menarik.