Pemesanan topologi positif, ambil 2

Ini adalah tindak lanjut dari pertanyaan David Eppstein baru-baru ini dan dimotivasi oleh masalah yang sama.

Misalkan saya memiliki barang dengan bobot bilangan real pada simpulnya. Awalnya, semua simpul tidak ditandai. Saya dapat mengubah set simpul yang ditandai dengan (1) menandai titik tanpa pendahulu yang tidak ditandai, atau (2) menghapus tanda titik tanpa penerus yang ditandai. (Dengan demikian, himpunan simpul yang ditandai selalu merupakan awalan dari urutan parsial.) Saya ingin menemukan urutan operasi penandaan / penghapusan tanda yang diakhiri dengan semua simpul yang ditandai, sedemikian sehingga bobot total dari simpul yang ditandai selalu non-negatif. .

• Seberapa sulit menemukan urutan operasi seperti itu? Tidak seperti masalah David , bahkan tidak jelas bahwa masalah ini ada di NP; pada prinsipnya (meskipun saya tidak punya contoh) setiap urutan langkah hukum dapat memiliki panjang eksponensial. Yang terbaik yang bisa saya buktikan adalah bahwa masalahnya ada di PSPACE.

• Apakah operasi tanpa tanda sebenarnya tidak perlu? Jika ada urutan langkah yang valid, haruskah ada urutan langkah yang valid yang tidak pernah menghapus tanda titik? Jawaban afirmatif akan membuat masalah ini identik dengan jawaban David . Di sisi lain, jika penghapusan tanda terkadang diperlukan, harus ada contoh kecil (ukuran konstan) yang membuktikannya.

Pada 666 seminar penelitian reguler kami, kami menemukan bukti berikut.

Kami mulai dengan beberapa definisi. Biarkan P menjadi poset kita. Untuk kesederhanaan, anggaplah tidak ada bobot yang berjumlah nol. Sebutkan bobot sebuah simpul dengan w (x) dan jumlah bobot set oleh w (X). Kita mengatakan bahwa himpunan X adalah Y-up (tertutup) jika terkandung dalam Y dan setiap elemen Y yang lebih besar dari elemen X juga dalam X. Demikian pula, katakan bahwa himpunan X adalah Y-down jika terkandung dalam Y dan setiap elemen Y yang lebih kecil dari elemen X juga dalam X. Dalam bahasa ini set elemen yang ditandai harus selalu P-down.

Kami membuktikan dengan kontradiksi. Ambil tanda terpendek / hapus tanda yang menandai setiap elemen. Kami menyebut urutan seperti itu penuh. Pada titik tertentu, pertimbangkan set elemen yang ditandai sebelumnya tetapi sekarang tidak ditandai. Nyatakan set ini oleh U.

Klaim: w (U)> 0.

Bukti: Kami membuktikan bahwa bobot set U-up, X, positif. Buktinya adalah dengan induksi pada ukuran X. Jika ada set X-down, Y, sehingga w (Y)> 0, maka karena dengan induksi kita tahu bahwa w (X \ Y)> 0 (karena itu adalah X-up), kami juga memiliki w (X)> 0. Jika untuk setiap set X-down, Y, kita memiliki w (Y) <0, maka dengan menghapus hingga titik ini semua tanda dan penghapusan tanda elemen X dari urutan kita, kita mendapatkan urutan penuh yang lebih pendek. Kami selesai dengan bukti klaim.

Sekarang anggaplah bahwa kita memiliki urutan penuh di mana w (U)> 0 pada titik mana pun untuk set U dari elemen yang saat ini tidak ditandai. Ambil urutan yang kita dapatkan dari ini dengan mengambil tanda pertama dari setiap elemen dan tidak pernah menghapus tanda apa pun. Jelas bahwa ini juga akan menjadi urutan penuh yang memuaskan bahwa set elemen yang ditandai selalu P-down. Selain itu, jumlah bobot akan selalu setidaknya sebanyak dalam urutan asli karena pada waktu tertentu perbedaannya adalah w (U). Kita sudah selesai.

Dengan metode ini orang bahkan dapat membuktikan bahwa jika alih-alih menandai seluruh P, kita hanya ingin menandai subset P, maka dapat dilakukan dengan urutan tanda diikuti oleh urutan tanda tidak. Buktinya sama kecuali bahwa pada akhirnya beberapa elemen, U, tetap tidak bertanda tetapi ini dapat dipindahkan ke akhir urutan karena bobot setiap set U-up positif.