Satu tembakan kuantum memukul waktu

Dalam makalah Quantum Random Walks Hit Eksponensial Lebih Cepat ( arXiv: quant-ph / 0205083 ) Kempe memberikan gagasan mengenai waktu tempuh untuk berjalan kuantum (dalam hypercube) yang tidak terlalu populer dalam literatur jalan kuantum. Ini didefinisikan sebagai berikut:

Waktu Tembakan Kuantum Satu Tembakan: Jalan kuantum waktu-diskrit memiliki satu tembakan - waktu memukul jika mana adalah status awal, adalah status target, dan adalah probabilitas memukul.( | Ψ 0 ⟩ , | Ψ f ⟩ ) | ⟨ Ψ f | U T | Ψ 0 ⟩ | 2 ≥ p | Ψ 0 ⟩ | Ψ f ⟩ p > $(T,p)$$(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$$|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$$|\Psi_0\rangle$$|\Psi^f\rangle$$p>0$

Biasanya Anda ingin tahu minimum sehingga . Tidak mungkin (koreksi saya jika saya salah) untuk mendefinisikan gagasan mengenai waktu memukul rata-rata karena Anda perlu melakukan pengukuran selama berjalan, dan itu akan membuatnya runtuh menjadi jalan klasik. Itu sebabnya kami memiliki gagasan sekali pakai. Dalam karya yang sama, ada aplikasi untuk perutean kuantum (lih. Bagian 5 ).p > $T$$p>0$

Untuk mengetahui bahwa jalan tiba di titik target, Anda perlu melakukan pengukuran hanya pada simpul itu. Sebagai contoh, dalam dimensi dimensi dengan node jika Anda mulai dari simpul dan miliki sebagai target node , makalah menunjukkan bahwa dengan probabilitas kesalahan terbatas, yaitu karena menjadi sangat besar. Jadi untuk mendeteksi bahwa jalan tiba di Anda melakukan pengukuran setelah langkah . Ini adalah percepatan eksponensial.2 n | Ψ 0 ⟩ = | 00 ... 00 ⟩ $n$$2^n$$|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$$|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$$T=O(n)$$p\to 1$$n$$|11\dots11\rangle$$\Omega(n)$

Pertanyaan:

1. Untuk menggunakan gagasan ini mengenai waktu untuk mencari, Anda harus tahu setidaknya jarak titik target dari titik asal, karena itulah cara Anda mengetahui kapan harus menerapkan pengukuran Anda. Katakanlah Anda memiliki grafik , dan atur sebagai simpul awal v 0 dan ingin mencapai v f . Asumsikan juga bahwa T = O ( d i s t ( v 0 , v f ) ) dan p ≥ 1 / 2 . Baiklah, T$G$$v_0$$v^f$$T=O(dist(v_0,v^f))$$p\geq 1/2$$T$jelas karena Anda membutuhkan setidaknya banyak langkah untuk mencapainya. Apakah masuk akal menggunakan waktu memukul ini untuk pencarian? Jika Anda tahu di mana simpul itu tidak ada artinya dalam pencarian, tetapi memiliki sepotong informasi seperti "jarak dari titik awal" tetapi tidak tahu persis di mana targetnya, apakah gagasan mengenai waktu memukul ini memberikan sesuatu yang menarik (layak untuk dipelajari ) algoritma pencarian?

2. Apakah aplikasi untuk kuantum routing masuk akal? Dalam makalah itu dikatakan bahwa itu dapat digunakan untuk merutekan paket, tetapi menurut saya Anda hanya dapat mengirim 1 bit, misalnya apakah tiba di tujuan atau tidak? Bisakah Anda benar-benar mengirim keadaan kuantum dalam kerangka kerja ini? Dalam makalah ini masalah ini tidak ditangani.

3. Ini mungkin pertanyaan konyol untuk ditanyakan, tapi begini saja. Dapatkah Anda menggunakan gagasan mengenai waktu untuk membangun "Interferometer Mach-Zender Umum"?

Saya menyadari gagasan lain mengenai waktu memukul untuk jalan-jalan kuantum (seperti Szegedy atau Ambainis ). Saya sangat tertarik dengan waktu memukul spesifik ini.

Pembaruan (24/9/2010): Berkat Joe Fitzsimons, pertanyaan 2 dan 3 telah dijawab sepenuhnya. Meski pertanyaan nomor 1 masih ada. Pertama, saya akan menyatakan kembali pertanyaan 2 dalam istilah yang lebih spesifik sekarang setelah saya selesai membaca makalah yang direkomendasikan Joe dan pasangan lagi (misalnya lihat arXiv: 0802.1224 ), dan kemudian saya akan memberikan contoh nyata dari apa yang ada dalam pikiran saya. untuk pertanyaan 1.

2 '. Jika Anda mengirim pesan konkret (seperti urutan bit klasik), Anda dapat menggunakan kesatuan yang lebih rumit yang akan menyalin informasi ini selama langkah-langkah berjalan. Untuk mengirim status kuantum Anda membutuhkan sesuatu yang lebih. Saluran rantai putar menggunakan larik linear qubit dengan kopling tetap. Anda dapat menempatkan negara (keadaan murni, saya tidak tahu apakah itu berfungsi untuk negara campuran) yang ingin Anda transmisikan di satu ujung dan ia pergi ke ujung lainnya dengan kesetiaan tinggi sesuai dengan hasil numerik. Saya masih harus memikirkannya tetapi saya punya dua ide: i) meletakkan rantai pada setiap tautan grafik, atau ii) berjalan-jalan, menemukan keadaan target, kemudian membuat saluran antara keadaan awal dan target dan kemudian mengirim negara. Apakah ada dari pendekatan ini yang masuk akal? Apakah itu berfungsi dengan negara campuran?

1 '. Pertimbangkan berjalan di grid 2 dimensi yang berpusat di titik asal dengan simpul dengan setiap sisi dengan panjang $n$ . Tetapkan status awal padav0=(0,0)dan status target padavf=($\sqrt{n}$$v_0=(0,0)$di manasebuah=0,...,$v^f=(\sqrt{n}-1,a)$. Karena jalannya simetris, kami memiliki waktu yang sama untuk memukul dan probabilitas memukul berlaku untuk target di suatu tempat di perbatasan grid seperti yang ditunjukkan di bawah ini.$a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

Oleh karena itu informasi yang kami miliki adalah bahwa . Kita bisa menggunakan ini untuk mengetahui kapan harus melakukan pengukuran. Bisakah waktu satu pukulan digunakan untuk mencari kisi ini? Di sini Anda memerlukan informasi itu. Masalah terbuka dalam mencari kisi adalah kita tahu ituΩ($dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$adalah batas bawah untuk pencarian, dan untuk grid batas atas terbaik adalahO($\Omega(\sqrt{n})$. Entah kami tidak dapat menemukan algoritma yang lebih baik, atau teknik untuk membuktikan batas bawah ketika Anda menggunakannya pada kisi memberikan batas bawah yang lemah. Bisakah Anda menunjukkan bahwa satu-satunya cara untuk pergi di bawah$O(\sqrt{n\log n})$ apakah memiliki "informasi" seperti yang ada dalam pertanyaan? Ini akan menyiratkan cara membuktikan batas bawah untuk grid. Apakah itu masuk akal?$\sqrt{n\log n}$

Saya tidak begitu akrab dengan makalah ini, tetapi saya akan mencoba memberikan jawaban kasar untuk setiap pertanyaan Anda setelah membaca sepintas.

1. $O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$$O(\sqrt{n})$$T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$
2. Saya menganggap penulis mengambil seluruh paket untuk melakukan jalan acak. Jelas ini membutuhkan kesatuan yang agak lebih rumit, tapi saya tidak benar-benar melihat masalah. Bergantian, Burgarth dan Bose memiliki skema yang sangat bagus untuk menyandikan informasi melintasi grafik identik yang juga akan berfungsi jika Anda hanya mengganti rantai 1d dengan jaringan pilihan ( quant-ph / 0406112 ).
3. Nah, Anda tidak perlu gagasan mengenai waktu memukul ini. Hypercubes memiliki transfer keadaan sempurna (lihat misalnya quant-ph / 0309131 dan quant-ph / 0411020 ), sehingga Anda dapat melihat transportasi pada hypercube sebagai interferometer dengan interferometer Mach-Zender yang sesuai dengan case 2d.

UPDATE: (Untuk menjawab pertanyaan yang diperbarui tentang jalan-jalan acak di kisi atau kisi lainnya)

$v_t$$v^f$

Sehubungan dengan pertanyaan 1, mengetahui jarak antara titik target yang tidak diketahui dan titik asal yang diketahui pada hypercube dapat membantu proses pencarian. Namun, nilai jarak itu sendiri menentukan seberapa besar manfaat informasi ini.

Algoritma quantum walk tipikal biasanya variasi / perkiraan pencarian Grover: mereka melibatkan rotasi perkiraan vektor status dalam subruang 2-d dari total ruang Hilbert.

Anda dapat menggunakan algoritma ini untuk secara efisien menyiapkan superposisi yang kira-kira seragam dari semua simpul pada jarak tertentu dari titik asal. Kemudian Anda dapat mencari titik target Anda di dalam superposisi ini menggunakan pencarian kuantum atau klasik (Monte Carlo): Untuk pencarian klasik, persiapkan saja superposisi dan ukurlah dalam basis titik dan ulangi hingga Anda menemukan target. Untuk pencarian kuantum, prosedur persiapan superposisi (dan kebalikannya) menjadi subrutin yang menggantikan transformasi Hadamard dalam iterasi Grover.

$n$$d$$\binom{n}{d}$. Hence the majority of vertices ($\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$) are at $\approx n/2$ distance: while you can efficiently prepare the superposition of these vertices, searching the target inside it still takes exponential time.