Dalam keadaan apa algoritma

Misalkan, untuk setiap $\epsilon > 0$ , ada mesin Turing $M_{\epsilon}$ yang menentukan bahasa $L$ dalam waktu $O(n^{a + \epsilon})$ . Apakah ada algoritma tunggal yang menentukan $L$ dalam waktu $O(n^{a + o(1)})$ ? (Di sini, istilah $o(1)$ diukur dengan $n$ , panjang input.)

Apakah itu membuat perbedaan jika algoritma $M_{\epsilon}$ yang dihitung, atau secara efisien dihitung, dalam hal $\epsilon$ ?

Motivasi: dalam banyak bukti, lebih mudah untuk membangun algoritma waktu $O(n^{a + \epsilon})$ daripada algoritma pembatas $O(n^{a + o(1)})$ . Secara khusus, Anda perlu mengikat suku konstan dalam $O(n^{a + \epsilon})$ untuk melewati batas $O(n^{a+o(1)})$ . Alangkah baiknya jika ada beberapa hasil umum yang bisa Anda panggil untuk langsung ke batas.

cc.complexity-theory asymptotics

— David Harris
sumber

Jawaban:

Pertanyaannya mirip dengan pertanyaan tentang keberadaan konstruktif dari batas urutan objek (konstruktif). Biasanya jika Anda dapat secara seragam membangun objek-objek itu (di sini ) cukup efisien maka Anda dapat menunjukkan keberadaan batas secara konstruktif. $M\epsilon$

Misalnya, asumsikan bahwa kita memiliki TM yang menjalankan pada dan waktu operasinya adalah (di sini batas-batasnya juga seragam, misalnya sesuatu seperti $N(k,x)$ $M_{|k|^{-1}}$ $x$ $O(n^{a+|k|^{-1}})+O(|k|)$ $O(2^k.n^{a+|k|^{-1}})$ tidak akan bekerja). Kemudian kita dapat menggabungkan simulator seragam ini dengan fungsi untuk mendapatkan mesin yang berjalan dalam waktu . $(k,x)\mapsto x$ $N(x,x)$ $O(n^{a+o(1)})$

PS: agak ambigu karena bersarang dari notasi asimptotik, saya menafsirkannya sebagai . Kita juga perlu agar tidak terlalu kecil, misalnya setidaknya . $O(n^{a+o(1)})$ $n^{a+o(1)}$ $a$ $1$

— Kaveh
sumber

Anda dapat menggunakan algoritma pencarian universal Levin. Misalkan Anda entah bagaimana dapat menghitung urutan algoritma memutuskan , masing-masing berjalan dalam waktu . Algoritma Levin berjalan dalam waktu untuk setiap , di mana adalah konstanta tergantung pada . Jadi untuk setiap , $A_k$ $L$ $C_k n^{a+1/k}$ $T(n) \leq D_k n^{a+1/k}$ $k$ $D_k$ $C_k$ $k$

τ (n) ≜ \frac{\log T (n)}{\log n} - a \leq \frac{\log D_{k} + (a + 1 / k) \log n}{\log n} - a = \frac{\log D_{k}}{\log n} + \frac{1}{k} .

$\tau(n) \triangleq \frac{\log T(n)}{\log n} - a \leq \frac{\log D_k + (a+1/k) \log n}{\log n} - a = \frac{\log D_k}{\log n} + \frac{1}{k}.$ Given

ϵ > 0

$\epsilon>0$ , choose

k = ⌈ 2 / ϵ ⌉

$k = \lceil 2/\epsilon \rceil$ , and let

N = ⌈ D_{k}^{2 / ϵ} ⌉

$N = \lceil D_k^{2/\epsilon} \rceil$ . Then for

n \geq N

$n \geq N$ ,

τ (n) \leq ϵ

$\tau(n) \leq \epsilon$ . Therefore

τ (n) \to 0

$\tau(n) \rightarrow 0$ , and we get that Levin's algorithm runs in time

n^{a + τ (n)} = n^{a + o (1)}

$n^{a+\tau(n)} = n^{a+o(1)}$ .

— Yuval Filmus
sumber

If I understand Levin's algorithm, this only applies to search algorithms. This algorithm would work to invert a function

f

$f$ , where

f

$f$ can be computed in time

O (n^{o (a)})

$O(n^{o(a)})$ .

— David Harris

I'm not suggesting using Levin's algorithm itself, just the idea of running all the algorithms

A_{k}

$A_k$ in parallel using dovetailing, in such a way that each one is slowed down only by a multiplicative factor.

— Yuval Filmus

@ Yuval, when you dovetail all the algorithms, then how do you decide which answer to accept? In a search problem, you can test each putative output, but in general this is not possible.

— David Harris

I accept the first answer that appears. We are given that the algorithms

A_{k}

$A_k$ correctly decide

L

$L$ .

— Yuval Filmus