Algoritma dan teori kompleksitas struktural

Banyak hasil penting dalam teori kompleksitas komputasi, dan khususnya teori kompleksitas "struktural", memiliki sifat menarik yang dapat dipahami secara mendasar mengikuti (seperti yang saya lihat ...) dari hasil algoritmik yang memberikan algoritma atau protokol komunikasi yang efisien untuk beberapa masalah. Ini termasuk yang berikut:

IP = PSPACE mengikuti dari algoritma rekursif hemat-ruang yang mensimulasikan protokol interaktif, dan protokol interaktif yang efisien untuk mengevaluasi formula boolean yang benar-benar terkuantifikasi. Pada kenyataannya, setiap kompleksitas kelas kesetaraan A = B dapat dilihat sebagai berikut dari dua algoritma yang efisien (sebuah algoritma untuk masalah dalam A yang efisien sehubungan dengan B, dan sebaliknya).
Membuktikan NP-kelengkapan beberapa masalah hanya menemukan algoritma yang efisien untuk mengurangi masalah NP-lengkap untuk itu.
Bahan (yang bisa dibilang!) Penting dalam Teorema Hierarki Waktu adalah simulasi universal yang efisien dari mesin Turing.
$\not \supset$
The PCP Teorema adalah bahwa efisien kesenjangan amplifikasi adalah mungkin untuk masalah kepuasan kendala.
dll.

Pertanyaan saya (yang mungkin sangat samar-samar!) Adalah sebagai berikut: Apakah ada hasil penting dalam teori kompleksitas struktural (berbeda dari "meta-hasil" seperti penghalang relativisasi) yang tidak diketahui memiliki interpretasi alami dalam hal efisien algoritma (atau protokol komunikasi)?

cc.complexity-theory structural-complexity

— Ashley Montanaro
sumber

Aku semacam harapan jawabannya adalah "tidak", karena saya pikir kompleksitas adalah benar-benar tentang memahami kekuatan algoritma! Saya akan mengatakan PARITY tidak di hampir memenuhi syarat, tapi sekarang saya tidak berpikir begitu. Anda dapat melihat Switching Lemma sebagai algoritme acak yang memungkinkan Anda menukar dua baris sirkuit tanpa ledakan ukuran besar (dan bahkan dapat diacak secara acak ( eccc.hpi-web.de/report/2012/116 ).

A C^{0}

$AC^0$

— Joshua Grochow

AshleyMontanaro: Mungkin teori kompleksitas dikaitkan "dengan definisi" dengan efisiensi (waktu / ruang) dari algoritma. Segera setelah Anda beralih dari efisiensi, Anda menemukan hasil mendasar seperti ketidakpastian masalah penghentian tetapi Anda tidak lagi berada dalam domain "kompleksitas". Namun mencoba memberikan jawaban parsial saya berpikir bahwa karakterisasi logika kelas kompleksitas adalah hasil penting yang memberikan perspektif yang berbeda tidak (langsung) terkait dengan "algoritma".

— Marzio De Biasi

Secara khusus, saya akan mendaftarkan karakterisasi deskriptif NP dalam hal logika urutan kedua eksistensial. Ini murni tentang kekuatan ekspresif dan bukan terutama tentang algoritma. Namun, teorema Courcelle menyatakan bahwa perbedaan ini tidak nyata.

— Suresh Venkat

Apakah Anda mengatakan bahwa bukti Razborov-Smolensky dari PARITY tidak dalam AC0 berisi hasil algoritmik pada intinya? Dan bagaimana dengan kompleksitas kueri batas bawah, seperti yang mengatakan komputer kuantum tidak dapat menyelesaikan masalah pencarian tidak berurutan di kueri ?

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

— Robin Kothari

lihat juga cstheory.stackexchange.com/questions/3229/…

— sdcvvc

Untuk banyak batas bawah dalam kompleksitas aljabar, saya tidak tahu interpretasi alami dalam hal algoritma yang efisien. Sebagai contoh:

teknik turunan parsial Nisan dan Wigderson
teknik peringkat-of-Hessian dari Mignon dan Ressayre (memberikan batas bawah yang paling dikenal saat ini tentang permanen versus determinan)
batas derajat Strassen (dan Baur-Strassen)
teknik komponen yang terhubung dari Ben-Or.

Dalam semua hasil di atas, mereka tampaknya benar-benar menggunakan properti dari fungsi yang terlibat, di mana properti itu sendiri tampaknya tidak terkait dengan keberadaan algoritma tertentu (apalagi yang efektif).

Untuk hasil non-aljabar, berikut adalah beberapa pemikiran:

Argumen penghitungan standar untuk penyortiran batas bawah tampaknya tidak memiliki interpretasi dalam hal algoritma yang efisien. Namun, ada versi permusuhan dari batas bawah ini [1], di mana ada algoritma yang, mengingat setiap pohon keputusan yang menggunakan perbandingan terlalu sedikit, secara efisien membuat daftar yang pohon keputusannya salah sangka. Tetapi versi permusuhan, meskipun tidak sulit, secara signifikan lebih sulit daripada bukti penghitungan. (Perhatikan bahwa ini sedikit lebih kuat daripada yang didapat seseorang dengan menerapkan teknik batas bawah musuh, misalnya seperti pada catatan ini , karena pada [1] musuh itu sendiri efisien .) $n \log n$
Saya pikir saya sudah berubah pikiran tentang PARITY bukan di (bahkan bukti asli, apalagi bukti Razborov-Smolensky, seperti yang ditunjukkan oleh @RobinKothari). Meskipun Switching Lemma dapat dilihat sebagai algoritma acak ( atau deterministik ) yang memungkinkan Anda bertukar dua baris sirkuit tanpa ukuran besar, saya pikir ini benar-benar memiliki rasa yang berbeda daripada banyak hasil dalam kompleksitas, dan khususnya yang Anda kutip. Sebagai contoh, bukti Williams bahwa didasarkan pada keberadaan algoritma yang baik untuk masalah tertentu. Sebaliknya, jika seseorang dapat membuktikan sesuatu seperti Switching Lemma secara tidak konstruktif, akan sama baiknya untuk membuktikan PARITY bukan pada . $AC^0$ $ACC \neq NEXP$ $AC^0$

Karena dua contoh terakhir ini - terutama penyortiran, di mana bukti standar tidak konstruktif - menurut saya pertanyaannya mungkin bukan hanya tentang interpretasi alami dalam hal algoritma yang efisien, tetapi juga tentang konstruktifitas / keefektifan bukti dari berbagai hasil kompleksitas (tergantung pada apa yang ada dalam pikiran OP). Artinya, batas bawah penyortiran standar tidak konstruktif atau algoritmik, tetapi ada bukti algoritmik konstruktif untuk hasil yang sama.

[1] Atallah, MJ dan Kosaraju, SR Batas bawah berbasis musuh untuk menyortir . Memberitahu. Proc Lett. 13 (2): 55-57, 1981.

— Joshua Grochow
sumber