Tindak Lanjut Apa contoh dari Monad yang merupakan Alternatif tetapi bukan MonadPlus? :

Anggap adalah monad. Apa hubungan betweem m menjadi alternatif , sebuah MonadPlusCatch dan MonadPlusDistr ? $m$$m$Untuk masing-masing dari enam pasangan yang mungkin, saya ingin memiliki bukti bahwa satu menyiratkan yang lain, atau contoh tandingan yang tidak.

(Saya menggunakan

• MonadPlusCatch untuk membedakan MonadPlus yang memenuhi aturan Left-Catch :

  mplus (return a) b = return a
  

• MonadPlusDistr untuk membedakan MonadPlus yang mensahkan aturan Distribusi Kiri :

  mplus a b >>= k = mplus (a >>= k) (b >>= k)
  

lihat MonadPlus di HaskellWiki .)

Pengetahuan + intuisi saya saat ini adalah:

1. MonadPlusDist Alternatif - kemungkinan benar - sepertinya langsung, saya yakin saya punya sketsa bukti, saya akan memeriksanya dan jika itu benar, saya akan mempostingnya AndrewC menjawab bagian ini.$\rightarrow$
2. $\rightarrow$ Maybe

3. $\rightarrow$ MaybeT (Either e)MaybeT m'

   ((pure x) <|> g) <*> a =    -- LeftCatch
       (pure x) <*> a
   -- which in general cannot be equal to
   ((pure x) <*> a) <|> (g <*> a)
   

   lagi saya akan periksa dan posting. (Menariknya, hanya Maybeitu dapat dibuktikan, karena kita dapat menganalisis apakah aini Just somethingatau Nothing-. Lihat tersebut jawaban AndrewC ini)

4. $\rightarrow$ $\rightarrow$ [][]
5. $\rightarrow$ []
6. $\rightarrow$ Maybe

$\rightarrow$

$\rightarrow$

(karena sebagai Petr Pudlák menunjukkan, []adalah counterexample - itu tidak memuaskan MonadPlusCatch tetapi tidak memuaskan MonadPlusDist , maka aplikatif )

Diasumsikan: Hukum MonadPlusDist

-- (mplus,mzero) is a monoid
mzero >>= k = mzero`                             -- left identity >>=
(a `mplus` b) >>= k  =  (a >>=k) `mplus` (b>>=k) -- left dist mplus

Untuk membuktikan: Hukum Alternatif

-- ((<|>),empty) is a monoid
(f <|> g) <*> a = (f <*> a) <|> (g <*> a) -- right dist <*>
empty <*> a = empty                       -- left identity <*>
f <$> (a <|> b) = (f <$> a) <|> (f <$> b) -- left dist <$>
f <$> empty = empty                       -- empty fmap

<*>ekspansi lemma
Anggaplah kita menggunakan derivasi standar dari aplikasi dari monad, yaitu (<*>) = apdan pure = return. Kemudian

mf <*> mx = mf >>= \f -> mx >>= \x -> return (f x)

karena

mf <*> mx = ap mf mx                                  -- premise
          = liftM2 id mf mx                           -- def(ap)
          = do { f <- mf; x <- mx; return (id f x) }  -- def(liftM2)
          = mf >>= \f -> mx >>= \x -> return (id f x) -- desugaring
          = mf >>= \f -> mx >>= \x -> return (f x)    -- def(id)

<$>ekspansi lemma
Asumsikan kita menggunakan derivasi standar dari functor dari monad, yaitu (<$>) = liftM. Kemudian

f <$> mx = mx >>= return . f

karena

f <$> mx = liftM f mx                    -- premise
         = do { x <- mx; return (f x) }  -- def(liftM)
         = mx >>= \x -> return (f x)     -- desugaring
         = mx >>= \x -> (return.f) x     -- def((.))
         = mx >>= return.f               -- eta-reduction 

Bukti

Asumsikan ( <+>, m0) memenuhi hukum MonadPlus. Sepele maka itu adalah monoid.

Dist. Kanan <*>

Saya akan buktikan

(mf <+> mg) <*> ma = (mf <*> ma) <+> (mg <*> ma) -- right dist <*>

karena lebih mudah pada notasi.

(mf <+> mg) <*> ma = (mf <+> mg) >>= \forg -> mx >>= \x -> return (forg x) -- <*> expansion
                   =     (mf >>= \f_g -> mx >>= \x -> return (f_g x))
                     <+> (mg >>= \f_g -> mx >>= \x -> return (f_g x))      -- left dist mplus
                   = (mf <*> mx) <+> (mg <*> mx)                           -- <*> expansion

Identitas Kiri <*>

mzero <*> mx = mzero >>= \f -> mx >>= \x -> return (f x) -- <*> expansion
             = mzero                                     -- left identity >>=

seperti yang dipersyaratkan.

Kiri Dist <$>

f <$> (a <|> b) = (f <$> a) <|> (f <$> b) -- left dist <$>

f <$> (a <+> b) = (a <+> b) >>= return . f              -- <$> expansion
                = (a >>= return.f) <+> (b >>= return.f) -- left dist mplus
                = (f <$> a) <+> (f <$> b)               -- <$> expansion

empty fmap

f <$> mzero = mzero >>= return.f   -- <$> expansion
            = mzero                -- left identity >>=

seperti yang dipersyaratkan

Contoh tandingan untuk MonadPlusCatch $\rightarrow$

Memang itu MaybeT Either:

{-# LANGUAGE FlexibleInstances #-}
import Control.Applicative
import Control.Monad
import Control.Monad.Trans.Maybe

instance (Show a, Show b) => Show (MaybeT (Either b) a) where
    showsPrec _ (MaybeT x) = shows x

main = print $
    let
        x = id :: Int -> Int
        g = MaybeT (Left "something")
        a = MaybeT (Right Nothing)
    -- print the left/right side of the left distribution law of Applicative:
    in ( ((return x) `mplus` g) `ap` a
       , ((return x) `ap` a) `mplus` (g `ap` a)
       )

Outputnya adalah

(Right Nothing, Left "something")

yang berarti itu MaybeT Either gagal hukum distribusi kiri Applicative.

Alasannya adalah itu

(return x `mplus` g) `ap` a

mengabaikan g(karena LeftCatch ) dan mengevaluasi hanya untuk

return x `ap` a

tetapi ini berbeda dari apa yang dinilai pihak lain untuk:

g `ap` a