Apa subfamili # P-lengkap dari # 2-SAT?

Versi pendek.

Bukti asli bahwa # 2-SAT adalah #P -lengkap menunjukkan, pada kenyataannya, bahwa contoh-contoh dari # 2-SAT yang keduanya monoton (tidak melibatkan negasi dari variabel apa pun) dan bipartit (grafik yang dibentuk oleh klausa di atas variabel adalah grafik bipartit) adalah #P -hard . Jadi, dua kasus khusus # 2-MONOTONE-SAT dan # 2-BIPARTITE-SAT adalah #P -hard . Apakah ada kasus khusus lain yang dapat dikarakterisasi dalam hal sifat 'alami' dari formula, yang juga #P -hard ?

Versi panjang.

Masalah # 2-SAT adalah tugas komputasi - untuk rumus boolean terdiri dari gabungan beberapa klausa, di mana setiap klausa adalah disjungsi dari dua literal atau - jumlah string boolean sedemikian rupa sehingga . Mencari tahu apakah ada seperti itu mudah; tetapi menghitung jumlah solusi secara umum adalah #P -complete, seperti yang ditunjukkan oleh Valiant dalam The Complexity of Enumeration and Problem Reliability, SIAM J. Comput., 8 , hlm. 410-421 .x j ˉ x j x ∈ { 0 , 1 } n ϕ ( x ) = $\phi$$x_j$$\bar x_j$$x \in \{0,1\}^n$$\phi(x) = 1$$x$

Khusus untuk kasus # 2-SAT, yang sebenarnya ditunjukkan oleh Valiant adalah pengurangan menjadi # 2-SAT dari penghitungan kecocokan (termasuk yang tidak sempurna) dalam grafik bipartit, yang memunculkan contoh # 2-SAT dengan struktur yang sangat khusus. , sebagai berikut.

1. Pertama, perhatikan bahwa masalah monoton setara, dengan substitusi, dengan masalah di mana untuk setiap variabel , baik muncul dalam rumus atau tetapi tidak keduanya. Secara khusus, masalah "penurunan monoton" di mana hanya negasi terjadi untuk setiap variabel persis sama kerasnya dengan kasus monoton.x j ϕ ˉ x$x_j$$x_j$$\phi$$\bar x_j$$\bar x_j$

2. Untuk setiap grafik dengan tepi , kita dapat membuat rumus 2-SAT yang mengurangi monoton yang sesuai dengan pencocokan - koleksi tepi yang tidak berbagi simpul apa pun - dengan menetapkan variabel ke setiap tepi, yang menunjukkan apakah itu termasuk dalam set tepi; properti himpunan yang cocok adalah setara dengan vektor kejadian memenuhi rumus CNF yang klausa diberikan oleh untuk setiap pasang tepi yang berbagi titik. Dengan konstruksi, memiliki banyak solusi yang memuaskanm x e M ⊆ E x = χ M φ ( ˉ x e ∨ ˉ x$G = (V,E)$$m$$x_e$$M \subseteq E$$\mathbf x = \chi_M$$\phi$e , f ∈ E φ x ∈ { 0 , 1 } $(\bar x_e \vee \bar x_f)$$e, f \in E$$\phi$$\mathbf x \in \{0,1\}^m$karena ada (mungkin tidak sempurna) matchings dalam grafik .$G$

3. Jika grafik yang ingin kita hitung kecocokannya adalah bipartit, maka grafik itu tidak mengandung siklus ganjil - yang dapat kita gambarkan sebagai urutan tepi pada grafik yang dimulai dan berakhir dengan tepi yang sama (tanpa menghitung tepi akhir dua kali) . Kemudian tidak ada urutan variabel dengan panjang ganjil dalam , di mana variabel yang berdekatan terlibat dalam klausa umum. Maka rumus akan menjadi bipartit dengan cara yang dijelaskan sebelumnya.$G$ ϕ $x_e, x_f, x_g, \ldots, x_e$$\phi$$\phi$

4. Menghitung jumlah kecocokan dalam grafik bipartit sewenang-wenang, khususnya, dapat digunakan untuk menghitung jumlah kecocokan sempurna dalam grafik bipartit: diberi grafik bitrarite input dengan dua bipartisi dari ukuran yang sama , satu dapat membuat grafik dengan menambah dengan mana saja simpul ekstra terhubung ke semua simpul dari . Karena semua kecocokan dalam dari ukuran yang diberikan berkontribusi berbeda terhadap jumlah kecocokan dalam , dengan menghitung ini, dapat menentukan jumlah kecocokan dalam dengan ukuranA , B n G k A 0 ⩽ k ⩽ n B G G $G = (A \cup B, E)$$A, B$$n$$G_k$$A$$0 \leqslant k \leqslant n$$B$$G$$G_k$$G$$n$(yaitu, yang merupakan pasangan sempurna); dan perhatikan bahwa penghitungan jumlah pencocokan sempurna dalam grafik bipartit setara dengan penghitungan permanen dari -rata dengan korespondensi sederhana.$\{0,1\}$

Kelas instance # 2-SAT yang ditunjukkan #P -hard adalah instance bipartit monoton.

Pertanyaan: Apa kasus khusus lain dari # 2-SAT yang #P -complete, sebagai akibat dari ini atau pengurangan lainnya?

Akan menarik jika, selain menunjukkan / mengutip pengurangan, orang juga bisa menggambarkan alasan intuitif tentang bagaimana kasus khusus dapat memberikan hambatan bagi pendekatan alami untuk menghitung tugas satsifying. Sebagai contoh, walaupun MONOTONE-2-SAT mudah dipecahkan secara sepele ( selalu merupakan solusi), instance monoton adalah yang di mana menugaskan beberapa variabel ke nilai tetap akan secara rutin gagal memaksakan banyak kendala pada sisanya variabel. Memperbaiki variabel apa pun hanya membatasi nilai variabel yang terkait langsung dengan beberapa klausa; dan pengaturanx j = 0 x j = $\mathbf x = 1^n$$x_j = 0$$x_j = 1$tidak membatasi nilai yang mungkin dari variabel lain sama sekali. (Tidak jelas bahwa batasan yang sebanding dengan grafik bipartit signifikan dalam cara yang sama, namun demikian, pembatasan bipartit tampaknya menambah struktur daripada menghapusnya, tetapi gagal menambahkan struktur yang cukup untuk menghitung secara efisien.)

Diedit untuk ditambahkan. Poin bonus akan diberikan untuk kelas seperti itu yang pada akhirnya tidak bergantung pada keberadaan instance monoton (seperti yang dilakukan # 2-BIPARTITE-SAT di atas, yang kekerasannya tampaknya disebabkan oleh dimasukkannya #P -dalam kasus khusus # 2 -MONOTONE-BIPARTITE-SAT). Misalnya, argumen untuk kekerasan # 2-BIPARTITE-SAT yang tidak bergantung pada instance monoton (tetapi mungkin bergantung pada beberapa sub-keluarga lainnya) akan menarik.

# 3-Regular Bipartite Planar Vertex Cover adalah # P-Complete

Karena menghitung vertex mencakup persis sama dengan menghitung penugasan yang memuaskan dari instance monoton # 2-SAT, hasil di atas menyiratkan bahwa itu adalah # P-lengkap untuk menghitung penugasan yang memuaskan dari instance # 2-SAT yang monoton dan 3-reguler dan bipartit dan planar .

Ini pada gilirannya berarti bahwa, selain dua kasus khusus # 2-MONOTONE-SAT dan # 2-BIPARTITE-SAT yang telah disebutkan dalam pertanyaan, dua kasus khusus # 2-CUBIC-SAT dan # 2-PLANAR-SAT adalah # P-lengkapi juga.