Pemecah NP yang optimal

Perbaiki masalah pencarian NP-complete misalnya bentuk pencarian SAT. Pencarian Levin menyediakan algoritma untuk menyelesaikan yang dalam beberapa hal optimal. Secara khusus, algoritma ini adalah "Jalankan semua program yang mungkin dalam menyesuaikan pada input , setelah beberapa mengembalikan jawaban menguji apakah itu benar". Ini optimal dalam arti bahwa diberikan program yang memecahkan dengan kompleksitas waktu $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $L$ $X$ $P$ $x$ $P$ $y$ $P$ $X$ , waktu kompleksitas dari memenuhi $t_P(n)$ $t_L(n)$ $L$

t_{L} (n) < 2^{| P |} p (t_{P} (n))

$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$

di mana adalah polinomial tetap yang tergantung pada model perhitungan yang tepat $p$

Optimalitas dapat dirumuskan dengan cara yang agak lebih kuat. Yaitu, untuk setiap dan program pemecahan dengan janji dalam waktu , kompleksitas waktu dari terbatas masukan dalam memenuhi $L$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_L^M(n)$ $L$ $M$

t_{L}^{M} (n) < 2^{| Q |} q (n, t_{Q}^{M} (n))

$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$

di mana adalah polinom tetap. Perbedaan penting adalah bahwa dapat misalnya jumlahnya banyak bahkan jika $q$ $t^M_Q(n)$ $P \neq NP$

"Kelemahan" yang jelas dari adalah faktor besar dalam ikatan ini. Sangat mudah untuk melihat bahwa jika ada algoritma yang memenuhi batas dari bentuk yang sama dengan digantikan oleh polinomial dalam maka . Ini karena kita dapat menganggap sebagai program yang memecahkan beberapa contoh dengan mengkodekan jawabannya. Begitu pula jika dapat diganti dengan fungsi sub-eksponensial $L$ $2^{|Q|}$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ $P = NP$ $Q$ $X$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ maka hipotesis waktu eksponensial dilanggar. Namun, jawaban untuk pertanyaan berikut kurang jelas (bagi saya):

Dengan asumsi hipotesis waktu eksponensial dan dugaan terkenal lainnya (misalnya non-degenerasi hierarki polinomial, keberadaan fungsi satu arah) jika perlu, apakah ada algoritma penyelesaian st untuk setiap dan program pemecahan dengan janji dalam waktu , kompleksitas waktu dari dibatasi untuk masukan dalam memenuhi $A$ $X$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_A^M(n)$ $A$ $M$

$t_{A}^{M} (n) < f (| Q |) q (n, t_{Q}^{M} (n)) + g (| Q |)$ $t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$
di mana adalah polinomial, adalah sub-eksponensial dan adalah arbitrer $q$ $f$ $g$

Jika jawabannya positif, bisakah polinomial? Berapa tingkat pertumbuhan (jelas setidaknya eksponensial di bawah ETH)? Jika jawabannya negatif, bisakah polinom ada jika ETH salah tetapi ? $f$ $g$ $f$ $P \neq NP$

cc.complexity-theory time-complexity p-vs-np

— Vanessa
sumber

Pertimbangkan algoritma berikut (varian dari algoritma Levin):

$n$

Berhenti ketika salah satu algoritma menemukan solusi.

$x$ $n$

$Q$ $n$ $O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$
$Q$ $n$ $n < 2^{|Q|}$ $2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

t_{A}^{M} (n) \leq p o l y (n) \cdot t_{Q}^{M} (n) + 2^{2^{O (| Q |)}} .

$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$

$f(n)$ $g(n)$ $n$ $g(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

— Yury
sumber

2^{| Q |} t_{Q}^{M} (2^{| Q |})

$2^{|Q|}t^M_Q(2^{|Q|})$