Ini adalah tindak lanjut dari pertanyaan terakhir yang diajukan oleh A. Pal: Memecahkan program semidefinite dalam waktu polinomial .
Saya masih bingung tentang waktu berjalan aktual dari algoritma yang menghitung solusi dari program semidefinite (SDP). Seperti yang ditunjukkan Robin dalam komentarnya terhadap pertanyaan di atas, SDP tidak dapat dipecahkan dalam waktu polinomial secara umum.
Ternyata, jika kita mendefinisikan SDP kita dengan hati-hati dan kita memaksakan suatu kondisi tentang seberapa baik batas wilayah layak primal, kita dapat menggunakan metode ellipsoid untuk memberikan ikatan polinomial pada waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan SDP (lihat Bagian 3.2 dalam L. Lovász, program Semidefinite dan optimasi kombinatorial ). Batas diberikan karena ada " waktu polinomial " umum dan di sini saya tertarik pada ikatan yang kurang kasar.
Motivasi berasal dari perbandingan dua algoritma yang digunakan untuk masalah keterpisahan kuantum (masalah sebenarnya tidak relevan di sini, jadi jangan berhenti membaca pembaca klasik!). Algoritma didasarkan pada hierarki tes yang dapat dilemparkan ke SDP, dan setiap tes dalam hierarki berada pada ruang yang lebih besar, yaitu, ukuran SDP yang sesuai lebih besar. Dua algoritma yang ingin saya bandingkan berbeda dalam tradeoff berikut: di yang pertama, untuk menemukan solusi yang Anda butuhkan untuk naik lebih banyak langkah hierarki dan yang kedua langkah-langkah hierarki lebih tinggi, tetapi Anda harus naik lebih sedikit dari mereka. Jelas bahwa dalam analisis tradeoff ini, waktu berjalan yang tepat dari algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan SDP adalah penting. Analisis algoritma ini dilakukan oleh Navascués et al. di arxiv: 0906.2731, di mana mereka menulis:
... kompleksitas waktu dari SDP dengan variabel dan ukuran matriks adalah (dengan biaya tambahan kecil yang berasal dari iterasi algoritma).n O ( m 2 n 2 )
Dalam makalah lain , di mana pendekatan untuk masalah ini pertama kali diusulkan, penulis memberikan batasan yang sama, tetapi mereka menggunakan istilah " jumlah operasi aritmatika " yang lebih hati-hati daripada " kompleksitas waktu ".
Pertanyaan saya ada dua:
- Algoritma / terikat mana adalah Navascués et al. mengacu?
- Dapatkah saya mengganti ungkapan "waktu polinomial" di Lovász dengan sesuatu yang kurang kasar (mempertahankan asumsi yang sama)?