Lingkungan nyaman "P" dan "NP-hard"

Biarkan menjadi tugas algoritmik. (Ini bisa menjadi masalah keputusan atau masalah optimasi atau tugas lain.) Mari kita sebut "di sisi polinom" jika mengasumsikan bahwa adalah NP-hard diketahui menyiratkan bahwa hieararki polinomial runtuh. Mari kita sebut "pada sisi-NP" jika mengasumsikan bahwa mengakui algoritma polinomial diketahui menyiratkan bahwa hierarki polinomial runtuh.$X$$X$$X$$X$$X$

Tentu saja, setiap masalah dalam P ada di sisi polinomial dan setiap masalah yang NP-hard ada di sisi NP. Juga, misalnya, pemfaktoran (atau apa pun dalam NPN persimpangan persimpangan) ada di sisi polinomial. Grafik isomorfisma ada di sisi polinomial. QUANTUM-SAMPLING ada di sisi NP.

1) Saya tertarik pada lebih banyak contoh (sealami mungkin) tugas algoritmik di sisi polinomial dan (terutama) pada lebih banyak contoh di sisi NP.

2) Secara naif terlihat bahwa sisi NP adalah semacam "lingkungan" dari masalah NP-hard, dan sisi-P adalah "lingkungan P". Apakah itu wawasan yang benar untuk menganggap masalah di sisi NP sebagai "jauh lebih sulit" dibandingkan dengan masalah di sisi P. Atau bahkan untuk menganggap masalah di sisi NP sebagai "NP-keras secara moral?"

3) (Ini mungkin jelas tetapi saya tidak melihatnya) Apakah ada di kedua sisi atau ada alasan teoritis untuk percaya bahwa seperti itu tidak mungkin. Perbarui Jawabannya adalah YA; lihat jawaban Yuval Filmus di bawah ini.$X$$X$

(Jika "sisi" ini terkait dengan kelas kompleksitas aktual dan jika saya melewatkan beberapa jargon cc yang relevan atau hasil yang relevan, silakan beri tahu saya.)

Memperbarui:Sekarang ada beberapa jawaban yang sangat bagus untuk pertanyaan itu. Seperti dicatat pertama oleh Yuval Filmus dan disebutkan lagi pertanyaannya tidak formal dan beberapa pembatasan pada argumen yang menunjukkan bahwa X ada di sisi-P / sisi-NP diperlukan. (Kalau tidak, Anda dapat memiliki X menjadi tugas menyajikan bukti untuk 0 = 1 yang ada di kedua sisi.) Mengesampingkan ini, mungkin menjadi masalah bahwa X (benar-benar) pada penangkapan sisi-NP entah bagaimana kekerasannya SAT, meskipun ini mungkin juga menjadi kasus untuk beberapa masalah di sisi P di mana kekerasan SAT melemah (bahkan sedikit) dengan cara yang dapat dibuktikan. Yuval Filmus memberikan versi SAT yang melemah yang ada di kedua sisi. Andy Drucker memberikan (dalam dua jawaban) lima contoh menarik termasuk referensi ke hierarki Rendah dan Tinggi Schöning, dan Scott Aaronson memberikan contoh menarik lebih lanjut, menyebutkan pertanyaan membalikkan fungsi satu arah yang hampir menangkap kekerasan NP namun di sisi P, dan jawabannya juga membahas kasus menarik QUANTUMSAMPLING. Saya mendapatkan hasil lama dari Feige dan Lund.

Istilah "di sisi-P" dan "di sisi-NP," dan tentu saja judul pertanyaan, mendorong kita untuk membayangkan "lingkungan yang nyaman" di sekitar P dan "lingkungan nyaman" lainnya di sekitar masalah yang sulit NP. Namun, saya ingin berdebat bahwa kedua lingkungan ini tidak begitu "nyaman" sama sekali!

Sebagai pengamatan pertama, ada masalah "di sisi-P" yang tampaknya "secara moral" lebih dekat ke NP-keras daripada ke P. Salah satu contoh, yang diantisipasi oleh Gil tentu saja, adalah masalah umum membalikkan fungsi satu arah ( tergantung pada jenis pengurangan apa yang diizinkan; lihat Bogdanov-Trevisan atau Akavia et al.).

Sebaliknya, ada juga masalah "di sisi NP" yang tampak "sewenang-wenang" dari menjadi NP-hard. Salah satu contoh konyol adalah bahasa acak L, dengan probabilitas 1 lebih dari L! Karena jika L seperti itu di P, maka 0 = 1 dan matematika tidak konsisten, dan karena itu PH juga runtuh. ;-D

(Perhatikan bahwa bahasa acak L juga "pada sisi-P", dengan probabilitas 1 lebih dari L. Untuk hampir semua L memiliki properti bahwa jika mereka NP-keras, maka NP⊆BPP dan PH runtuh. Dan ini memberikan bukti, jauh lebih sederhana daripada daya tarik untuk Teorema Ladner, bahwa ada bahasa di kedua "sisi." Memang, itu menunjukkan bahwa dari tak terhingga banyaknya bahasa, "hampir semua" dari mereka - pada kenyataannya, 100% - ada di kedua sisi!)

Ini terdengar seperti permainan anak-anak, tetapi ada pelajaran serius yang ingin saya tarik darinya. Saya berpendapat bahwa, meskipun QUANTUM SAMPLING secara formal "di sisi NP," masalah itu hampir tidak lebih dekat dengan "moral NP-hard" daripada bahasa acak L. Arkhipov dan saya (dan secara independen, Bremner-Jozsa-Shepherd) menunjukkan bahwa, jika QUANTUM SAMPLING berada di P (atau lebih tepatnya, di SampBPP, kelas masalah pengambilan sampel yang dapat dipecahkan secara polinomi), maka P ^#P = BPP ^NP , dan oleh karena itu hierarki polinomial runtuh. Namun jika Anda adalah mesin BPP, sebuah oracle untuk BosonSampling akan, sejauh yang kami tahu, tidak membawa Anda lebih dekat untuk menyelesaikan masalah NP-complete daripada oracle acak. Hanya jika Anda sudah memiliki kemampuan untuk menyelesaikan masalah NP-complete - katakan,Mesin ^NP - apakah Anda "perhatikan" bahwa oracle BosonSampling meningkatkan kemampuan Anda lebih jauh, ke #P. Tetapi properti meningkatkan NP hingga #P tampaknya berbeda dari, dan mungkin bahkan "ortogonal to," properti menjadi NP-hard sendiri.

Kebetulan, masalah terbuka yang luar biasa yang disarankan oleh pertanyaan Gil adalah apakah BosonSampling juga "berada di sisi-P". Yaitu, dapatkah kita menunjukkan bahwa jika NP direduksi menjadi BosonSampling maka PH runtuh? Walaupun saya mungkin kehilangan sesuatu yang jelas, pada pandangan pertama saya tidak tahu bagaimana membuktikan hal seperti itu, lebih dari saya tahu bagaimana membuktikan implikasi yang lebih kuat bahwa jika NP ⊆ BQP maka PH akan runtuh.

Dua komentar, yang keduanya tidak sama dengan jawaban, tetapi dapat memberikan bacaan lebih lanjut yang bermanfaat.

1) Schöning mendefinisikan dua kelas masalah NP yang disebut "Hirarki Rendah" dan "Hirarki Tinggi", yang terkait dengan gagasan Anda. Secara khusus, masalah dalam LowH adalah "di sisi P", dan masalah di HighH ada di sisi NP. Sejumlah hasil yang terkenal dalam kompleksitas dapat dinyatakan dalam kerangka ini. Sebagai contoh, teorema Karp-Lipton mengatakan bahwa NP tidak ada dalam P / poli kecuali PH runtuh; ini adalah konsekuensi dari kenyataan bahwa NP P / poly terkandung dalam tingkat tetap LowH (seperti yang ditunjukkan teknik bukti Karp-Lipton). Perhatikan bahwa kami tidak berharap NP P / poli, atau LowH, terkandung dalam P. Untuk survei tentang LowH pada khususnya, lihat$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

2) Pertimbangkan masalah di mana kita diberi tabel kebenaran penuh dari fungsi Boolean, dan ditanya apakah ia memiliki sirkuit Boolean dengan ukuran tertentu . Masalah ini dalam NP, dan tidak mungkin dalam P (itu akan menyiratkan beberapa konsekuensi yang mengejutkan). Di sisi lain, bukti kelengkapan NP untuk masalah ini, jika mematuhi batasan tertentu yang wajar, akan memberi kita hasil baru yang kuat dalam teori kompleksitas. Ini ditunjukkan oleh Kabanets dan Cai di$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

Untuk menjadi jelas, tidak ada bukti nyata bahwa masalah ini bukan NP-hard, atau mudah dalam arti apa pun. Tetapi tampaknya sangat berbeda dari masalah sulit lainnya di NP. Saya pikir ini adalah salah satu kandidat yang paling menarik untuk masalah intermediate-NP, dan bukan yang terkenal.

Bukti Russell Impagliazzo tentang teorema Ladner memberikan contoh untuk 3. Demi kelengkapan, di bawah ini saya menyalin definisi tugas algoritmik dan membuat sketsa bukti bahwa itu ada di "kedua sisi", dalam arti yang kuat: dalam kedua kasus, PH runtuh ke P. Rincian lebih lanjut dapat ditemukan di catatan tertaut (diambil dari blog Fortnow dan Gasarch), yang (ringan) diadaptasi dari lampiran ke Uniformly Hard Sets oleh Downey dan Fortnow.$X$

Biarkan menjadi enumerasi dari semua mesin Turing polytime yang sudah ada, sehingga berakhir dalam waktu . Dalam sekuel, kami akan menyebutkan pasangan . Ini dianggap dikodekan sebagai string biner dalam beberapa cara yang masuk akal.$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

Kami mendefinisikan secara rekursif fungsi . Pertama, . Diberikan , didefinisikan sebagai berikut. Biarkan terdiri dari semua pasangan sedemikian rupa sehingga dan adalah formula yang memuaskan. Jika ada string biner paling panjang sedemikian rupa sehingga maka , jika tidak . Tidak sulit untuk memeriksa bahwa dapat dihitung dalam polinomial waktu dalam .$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

Akhirnya, kita dapat mendefinisikan tugas algoritmik : terdiri dari semua pasangan yang adalah CNF yang memuaskan. Perhatikan bahwa .$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

Jika memiliki algoritma maka untuk semua dan dengan demikian dapat digunakan untuk menyelesaikan SAT.$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

Selanjutnya, misalkan ada pengurangan pol waktu dari SAT ke , katakanlah mengambil waktu . Jika memiliki algoritma polytime maka seperti yang telah kita lihat PH runtuh menjadi P. Jika tidak, , dan khususnya, untuk . Reduksi dengan demikian mengambil instance dari ukuran SAT yang lebih besar dari dan menguranginya menjadi instance yang lebih kecil, atau mengeluarkan string yang bukan dari bentuk ; case terakhir dapat dikenali dalam polytime karena adalah polytime. Iterasi$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$, kami memperoleh algoritma polytime untuk SAT.

Hipotesis bahwa Hirarki Polinomial tidak runtuh telah menjadi salah satu jalan paling subur untuk penemuan dalam teori kompleksitas. Banyak dari hasil ini dapat diutarakan dengan mengatakan bahwa tugas algoritmik spesifik adalah "di sisi P" atau "di sisi NP". non-collapse tampaknya memiliki banyak konsekuensi lebih banyak daripada hipotesis lemah , dan tidak mungkin untuk menggabungkan mereka semua menjadi satu posting singkat. Izinkan saya memberikan tiga contoh yang memberikan sedikit rasa tentang variasi dari karya ini.$PH$$P \neq NP$

1) Misalkan kita diberikan sebagai input sebuah sirkuit dengan "gerbang oracle," yang membuat dua pertanyaan oracle selama perhitungan apa pun. Kami ingin tahu apakah itu menerima ketika dijalankan pada oracle . Tentu saja, ini -hard. Tapi misalkan kita akan puas untuk mengurangi sirkuit ke sirkuit yang setara yang hanya membuat satu permintaan ke . Apakah ini tugas yang sulit? Kami tidak tahu apakah menyelesaikannya akan menyiratkan . Namun, Kadin pada '88 menunjukkan bahwa hal itu akan menghancurkan Hirarki Hirarki. Untuk survei dan hasil yang lebih baik, lihat makalah ini dari Fortnow, Pavan, dan Sengupta:$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

2) Misalkan kita diberi instance dari ukuran , dengan hanya variabel Boolean. Bisakah kita secara efisien "menyusutkan" ke formula ukuran yang setara dengan kepuasan yang dibatasi oleh beberapa polinomial tetap dalam (tidak tergantung pada )? Ini akan menjadi langkah preprocessing yang berharga sebelum menjalankan algoritma waktu eksponensial. Pengurangan seperti itu juga akan menjadi ekspresi yang kuat dari gagasan bahwa kekerasan berasal terutama dari dimensi ruang pencarian solusi dari instance.ψ m n ≪ m ψ n m S A $SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

Dalam menjawab pertanyaan Bodlaender, Downey, Fellows, dan Hermelin, ditunjukkan oleh Fortnow dan Santhanam bahwa pengurangan kompresi seperti itu tidak mungkin, karena itu akan menghancurkan Poly Hierarchy:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

Hasilnya diterapkan pada reduksi acak yang memungkinkan kesalahan satu sisi. Saya membuktikan hasil yang sesuai untuk kesalahan dua sisi di

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(Masing-masing makalah ini benar-benar memberikan informasi yang lebih kuat dan lebih spesifik daripada hasil yang dikutip di atas.)

3) Terkadang kita ingin membuktikan masalah sulit menggunakan asumsi tidak runtuh, tetapi tidak ada hasil seperti itu yang muncul. Terkadang dimungkinkan untuk menggunakan nubuat untuk menjelaskan alasannya. Sebagai contoh, kami ingin menunjukkan bahwa kelas , yang mengungkapkan menemukan titik tetap fungsi kontinu (dan kesetimbangan permainan Nash) sulit dengan asumsi tidak terbatas. Tapi Buhrman dkk. menunjukkan bahwa ada oracle yang (dan semua masalah lain di kelas ) mudah, namun tidak terbatas:P P A D P H A P P A D A T F N P A P H $PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

Beberapa orang membantah pentingnya hasil oracle, tetapi saya pikir tidak ada pertanyaan bahwa mereka dapat menyelamatkan ahli teori kompleksitas dari mengejar jalur penyelidikan tanpa hasil. Ini jelas salah satu kasusnya. (Pada dasarnya semua bukti yang diketahui dari bentuk " dalam runtuh" ​​relatif, AFAIK.) Ini menunjuk pada keterbatasan asumsi non-kolaps dan pentingnya mengeksplorasi hipotesis tambahan.P ⇒ P H P $X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

Saya menemukan hasil ini oleh Feige dan Lund yang menunjukkan bahwa kecuali hierarki polinomial runtuh, sulit untuk menebak bahkan informasi yang sangat parsial tentang permanen dari matriks acak.

Uriel Feige dan Carsten Lund, Tentang Kekerasan Menghitung Permanen dari Matriks Acak. Kompleksitas Komputasi 6 (1996/1997) 101-132.

Izinkan saya juga menyebutkan dua hasil relevan tambahan yang menjadi perhatian saya dari Uri Feige:

Dua makalah berikut menerapkan ini dalam konteks kernelisasi (algoritme parameter traktir tetap).

Hans L. Bodlaender, Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Danny Hermelin: Tentang masalah tanpa kernel polinomial. J. Comput. Syst. Sci. 75 (8): 423-434 (2009)

Lance Fortnow, Rahul Santhanam: Infeasibility dari kompresi contoh dan PCP ringkas untuk NP. J. Comput. Syst. Sci. 77 (1): 91-106 (2011)