Aplikasi TCS untuk matematika klasik?


60

Kami di TCS sering menggunakan hasil dan gagasan yang kuat dari matematika klasik (aljabar, topologi, analisis, geometri, dll.).

Apa saja contoh ketika itu telah terjadi sebaliknya?

Berikut adalah beberapa yang saya ketahui (dan juga untuk memberikan rasa dari jenis hasil yang saya tanyakan):

  • Busa kubik (Guy Kindler, Ryan O'Donnell, Anup Rao, dan Avi Wigderson: Kubus Bulat dan Pembulatan Dimensi Tinggi, FOCS 2008)
  • Program Teori Kompleksitas Geometrik. (Meskipun ini secara teknis aplikasi geometri aljabar dan teori representasi untuk TCS, mereka dituntun untuk memperkenalkan kelompok-kelompok kuantum baru dan gagasan-gagasan teoretis aljebro-geometris dan representasi-murni semata-mata dalam mengejar P vs NP.)
  • Kerjakan embossing metrik yang terinspirasi oleh algoritma aproksimasi dan hasil yang tidak dapat diperkirakan

Saya khususnya tidak mencari aplikasi TCS untuk logika (teori model hingga, teori bukti, dll) kecuali mereka sangat mengejutkan - hubungan antara TCS dan logika terlalu dekat dan standar dan historis untuk keperluan pertanyaan ini.


1
Ini agak sulit dijawab. Apakah kombinatorik berada di luar matematika klasik?
arnab

2
Combinatorics jelas merupakan matematika klasik, tetapi saya pikir komentar yang sama berlaku untuk combinatorics dan logika. Jadi: bidang terbatas dugaan Kakeya adalah contoh yang baik, sedangkan desain kombinatorial baru yang dimotivasi oleh PRGs lebih di pagar.
Joshua Grochow

Anda dapat menemukan contoh yang baik dengan mencari hasil yang dipublikasikan di, katakanlah, Annals of Math oleh komunitas TCS.
KIA

Jawaban:


32

Ekspander dikembangkan sebagian besar dalam TCS dan mereka memiliki koneksi dan aplikasi yang mendalam untuk matematika.


22

Ada bukti Dvir tentang dugaan bidang terbatas Kakeya.


3
Ini dimotivasi oleh masalah ekstraktor / merger (lihat makalah Zeev dan Avi Wigderson nanti). Perbaikan lebih lanjut (oleh Madhu Sudan, Shubhangi Saraf, Swastik Kopparty dan Zeev Dvir) menggunakan lebih banyak ide dari ilmu komputer teoretis, khususnya dari daftar decoding kode (metode multiplisitas).
Dana Moshkovitz

1
Dua komentar: Metode aljabar yang digunakan oleh Dvir adalah salah satu metode yang digunakan untuk memecahkan masalah klasik tentang jarak untuk set planar. terrytao.wordpress.com/2010/11/20/… dan gilkalai.wordpress.com/2010/11/20/… .
Gil Kalai

2
Kedua, metode kejadian dan hasil dari geometri komputasi dan diskrit memiliki aplikasi sebelumnya untuk masalah Kakeya (nyata).
Gil Kalai


20

Prinsip invarian dimotivasi dari kekerasan perkiraan, tetapi merupakan teorema analitik yang berguna. Prinsipnya: Fungsi derajat rendah, di mana masing-masing variabel memiliki pengaruh kecil, berperilaku hampir sama, tidak peduli apakah inputnya adalah variabel acak independen, atau (sesuai) variabel acak Gaussian. Ini adalah generalisasi dari teorema limit pusat; di sana fungsinya adalah rata-rata dari variabel.

Stabilitas fungsi kebisingan dengan pengaruh rendah: invarian dan optimalitas E. Mossel, R. O'Donnell, K. Oleszkiewicz. Annals of Mathematics 171 (1), hlm. 295-341 (2010). FOCS '05.

Teorema pengujian tingkat rendah dimotivasi oleh aplikasi PCP, tetapi teorema aljabar yang menarik. Prinsipnya: Fungsi -variate pada bidang hingga F yang, rata-rata di atas garis dalam F n , dekat dalam jarak Hamming ke polinomial derajat rendah pada garis , dekat dalam jarak Hamming ke polinomial derajat rendah pada seluruh F n .nFFnFn

Kedekatan dalam jarak Hamming ke polinomial derajat rendah dalam ruang tertentu berarti bahwa fungsi mengidentifikasi dengan polinomial derajat rendah pada beberapa fraksi ruang yang tidak dapat diabaikan.

Peningkatan Pengujian Tingkat Rendah dan Aplikasinya . S. Arora dan M. Sudan. Dalam ACM STOC 1997.

A-Constant Error-Probability Uji Tingkat Rendah, dan Sub-Constant Error-Probability Karakterisasi PCP dari NP , R.Raz, S.Safra, Prosiding STOC ke-29, 1997, hlm. 475-484


19

Meskipun saya bias, saya pikir itu adil untuk mengatakan bahwa berbagai ide dari TCS telah berkontribusi pada kemajuan dugaan terbalik untuk norma Gower, lihat misalnya makalah oleh Green dan Tao .


7
Juga, wajar untuk mengatakan bahwa komponen pembuktian untuk teorema Szemeredi melalui lemma keteraturan hypergraph (oleh Gower, Tao, Rodl, Schacht dan lainnya) dipengaruhi oleh karya Alon, Fischer, Shapira dan lain-lain dalam mengembangkan versi yang lebih kuat dari grafik keteraturan lemma untuk membuktikan testabilitas properti grafik.
arnab

18

Apakah teori komputabilitas merupakan bagian dari TCS? Jika demikian, maka Teori Komputasi dan Geometri Diferensial oleh Bob Soare, yang mengekspos aplikasi hasil yang diperolehnya dengan Csima, adalah contohnya.

Tidak tahu mengapa tautannya tidak muncul .... Di sini: http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/res/Geometry/geom.pdf


2
Apakah Anda menghitung kemampuan komputasi sebagai bagian dari TCS, ini adalah contoh yang saya suka yang saya lupa sebutkan. Ini bahkan lebih keren karena dapat dilakukan menggunakan kompleksitas Kolmogorov :).
Joshua Grochow

17

Extractors adalah tempat lain untuk mencari. Misalnya, makalah oleh Barak-Kindler-Shaltiel-Sudakov-Wigderson'04 memberi (antara lain) peningkatan konstruksi grafik Ramsey (masalah yang telah terbuka untuk sementara waktu dalam matematika diskrit).



13

The Zig Zag-konstruksi expander digunakan untuk membangun berbagai contoh yang menarik dari kelompok dengan sifat tak terduga tertentu, lihat Meshulam-Wigderson , Rozenman-Shalev-Wigderson . Konstruksi itu sendiri sangat menarik dari sudut pandang matematika murni, karena menggunakan alat yang sama sekali berbeda (termotivasi oleh sudut pandang CS berurusan dengan entropi) untuk membangun ekspander daripada konstruksi sebelumnya. (Namun mungkin aplikasi yang paling terkenal adalah di dalam algoritma logspace TCS- Reingold untuk konektivitas tidak terarah .)


10

Izinkan saya menyebutkan beberapa aplikasi lagi:

Mungkin kontribusi paling penting dari TCS untuk matematika murni adalah seni reduksi. Pengurangan bentuk yang digunakan oleh TCS dalam kompleksitas komputasi dan tempat-tempat lain merupakan paradigma / alat matematika yang lebih berkembang dalam TCS dibandingkan dengan bidang matematika lainnya.

Gagasan tentang bukti probabilistik: Di sini saya tidak merujuk pada metode probabilistik (yang berakar pada matematika tetapi memiliki banyak aplikasi untuk CS) tetapi lebih kepada fakta bahwa pernyataan matematika seperti pernyataan yang mengklaim angka tertentu adalah bilangan prima, dapat diberi bukti "tanpa keraguan". Ini adalah terobosan konseptual yang berasal dari CS, meskipun belum memiliki banyak aplikasi dalam cara matematika dipraktekkan.


1
Saya tidak menyadari bahwa bidang matematika lain telah menggunakan gagasan pengurangan secara signifikan. Saya akan sangat menghargai referensi atau petunjuk yang dapat Anda berikan untuk karya-karya tersebut! Juga, saya mendapat kesan bahwa bukti probabilistik keluar dari kombinatorik murni, dan bukan TCS?
Joshua Grochow

3
Saya menjelaskan apa yang saya maksud dengan "bukti probabilistik" di versi edit jawaban saya. Mengenai pengurangan: Kompleksitas komputasi adalah bidang matematika yang berakar pada ilmu komputer. Salah satu karakteristik area ini adalah penggunaan reduksi yang memainkan peran utama pada level konseptual dan teknis. Ini jauh lebih berkembang daripada teknik serupa di bidang matematika lainnya. Jadi seni reduksi dalam TCS dapat dianggap sebagai aplikasi utama TCS untuk matematika. Saya pikir pengurangan tipe CS juga mempengaruhi matematikawan di bidang lain, dan masih banyak lagi yang akan datang.
Gil Kalai

Joshua, izinkan saya memberi analogi. Misalkan seseorang menyebut "kalkulus" sebagai salah satu aplikasi fisika terbesar untuk matematika klasik. Dapat juga dikatakan bahwa kalkulus terutama penting untuk menyerang masalah yang berasal dari fisika yang bukan "matematika klasik" sebelumnya. Masih saya pikir kalkulus adalah kontribusi utama fisika untuk matematika. Demikian pula, pengurangan tipe yang digunakan dalam teori kompleksitas adalah kontribusi utama TCS untuk matematika. Ini menggambarkan alat matematika utama dan ide-ide matematika yang memiliki nilai independen. (Namun, tidak sepenting kalkulus.)
Gil Kalai

G

1
@JoshuaGrochow tidak akan sulit untuk menemukan contoh non-sepele dari "kasus umum untuk pengurangan khusus". Misalnya, survei Cassaza yang saya tautkan dalam jawaban saya memiliki banyak pengurangan non-sepele antara masalah yang setara dengan masalah Kadison-Singer, beberapa di antaranya sangat terbatas pada pandangan pertama. Ini pemahaman saya bahwa geometri aritmatika penuh dengan hal-hal seperti itu juga, Anda mungkin tahu lebih banyak. Saya tidak yakin sampai sejauh mana TCS dapat mengklaim kredit karena memperkenalkan pendekatan ini pada masalah yang sulit diselesaikan.
Sasho Nikolov

9

Bukti konstruktif Moser tentang Lemas Lokal Lovasz menggunakan gagasan ilmu komputer, memberikan bukti baru tentang lemma Lovasz Lokal, dan memecahkan masalah yang telah dipikirkan orang selama beberapa waktu.


9

The Batson-Spielman-Srivastava metode fungsi penghalang telah memiliki sejumlah aplikasi untuk geometri dan analisis fungsional, muncul dalam ilmu komputer, dan merupakan bentuk yang sangat asli dari fungsi potensial argumen, mengingatkan pada metode penduga pesimis. Selain itu, bertentangan dengan kebijaksanaan konvensional yang menganalisis polinomial karakteristik dari matriks acak tidak bisa dilakukan, dan orang lebih baik melihat momen matriks sebagai gantinya.

Metode fungsi penghalang pertama kali dikembangkan untuk membuktikan keberadaan (dan membangun dalam waktu polinomial deterministik) dari grafik yang mempertahankan sifat spektralnya. Sparsifier seperti itu dimotivasi oleh aplikasi algoritmik: pada dasarnya algoritma apa pun yang perlu menghitung pemotongan kira-kira dapat dipercepat dengan diberikan sebagai input versi sparsifikasi dari input asli.

1n

Maju cepat ke 2013, dan metode fungsi penghalang, pada steroid, dan ditambah dengan mesin polinomial interlacing, digunakan oleh Marcus, Srivastava, dan Spielman , untuk memecahkan salah satu masalah yang paling terkenal dalam analisis fungsional, masalah Kadison-Singer . Masalah ini muncul dari pertanyaan mendasar dalam fisika matematika, tetapi ia melangkah lebih jauh - diketahui setara dengan puluhan masalah di seluruh matematika. Belum lagi bahwa banyak analis (termasuk Kadison dan Singer) bahkan tidak berpikir masalah memiliki resolusi positif (survei yang dikutip oleh Cassaza et al. Berspekulasi tentang kemungkinan contoh tandingan).


5

Salah satu contoh yang terlintas dalam pikiran adalah Teorema Penyematan Higman dan konsekuensi teoretis kelompoknya.

Teorema Penyematan Higman: Grup G dihasilkan secara halus dengan presentasi rekursif jika G adalah subkelompok dari kelompok yang disajikan secara halus.

(Perhatikan bahwa bagian kiri dari kesetaraan memiliki komponen komputasi sedangkan yang kanan adalah murni teori kelompok).


1
GHGWord(G)NPG

5

Arti keacakan , apa yang dianggap sebagai "urutan acak" dan pertanyaan terkait adalah penting dalam matematika, teori probabilitas, dan statistik selama berabad-abad. Ilmu komputer teoretis (dan teori kompleksitas) menawarkan wawasan mendalam dan meyakinkan yang sangat kuat untuk memahami keacakan.

Sedangkan metode probabilistik dimulai dalam derandomisasi matematika yang merupakan konsep matematika penting terutama dikembangkan di CS.

Ini terkait dengan jawaban Moritz .


5

Teori Automata dan aljabar

Teori Automata telah memberikan beberapa hasil menarik untuk mengkarakterisasi aljabar. Saya menyebutkan dua dari mereka, dengan referensi. Ini sama sekali tidak lengkap.

Fq(t)

Fq(t)qq=pspsFq[[t]]Fq

Fq(t)Fq(t)

i=0aitiFq(t){ai}i=0p

Fq(t)

iIxiti,
IQFq(t)

iIaitiFq(t){ai}iIp

2. Angka transendental

Urutan otomatis juga digunakan untuk mengkarakterisasi bilangan transendental. Misalnya,

b2xRx={xi}i=0b

  1. xx
  2. xbx
  3. x

Tentu saja, item pertama adalah hasil yang sangat klasik!

Referensi.

[1] Gilles Christol. Ensembles menghadirkan périodiques k-reconnaissables . Dalam Theoretical Computer Science 9 (1), hlm 141-145, 1979.

[2] Kiran S. Kedlaya. Hingga automata dan ekstensi aljabar bidang fungsi . Dalam Journal de théorie des nombres de Bordeaux 18 , hlm 379-420, 2006. arXiv: math / 0410375 .

[3] Boris Adamcweski, Yann Bugeaud. Pada kompleksitas bilangan aljabar I. Ekspansi dalam basis bilangan bulat . Dalam Annals of Mathematics 165 (2), pp 547-565, 2007.


theorem (Adamczewski & Bugeaud [3]) mungkin salah atau disalahpahami
XL _At_Here_There

4

Lτ

L

τpτ(1+τ)cc


1

TCS IMHO adalah cabang matematika dan saya akan mengatakannya sedikit lebih luas. Kita hidup di zaman algoritmik, hampir semua orang, dalam semua aktivitas manusia, menciptakan / menciptakan kembali algoritma, terutama heuristik. Tetapi beberapa dari algoritma tersebut adalah 1. baik; 2. berisi (dikubur) jawaban untuk pertanyaan matematika yang mendalam; 3. Tunggu analisis / peningkatan / perhatian matematika profesional. Pengalaman pribadi saya: kekuatan menakjubkan dari satu heuristik fisika / pembelajaran mesin, yaitu Perkiraan Bethe, sebagai teknik bukti. Masalah utama adalah bahwa kemungkinan pertemuan semacam ini terutama terjadi di industri, di mana tidak ada yang peduli dengan wawasan / wahyu terkait non-produk tersebut.

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.