Aplikasi TCS untuk matematika klasik?

Kami di TCS sering menggunakan hasil dan gagasan yang kuat dari matematika klasik (aljabar, topologi, analisis, geometri, dll.).

Apa saja contoh ketika itu telah terjadi sebaliknya?

Berikut adalah beberapa yang saya ketahui (dan juga untuk memberikan rasa dari jenis hasil yang saya tanyakan):

• Busa kubik (Guy Kindler, Ryan O'Donnell, Anup Rao, dan Avi Wigderson: Kubus Bulat dan Pembulatan Dimensi Tinggi, FOCS 2008)
• Program Teori Kompleksitas Geometrik. (Meskipun ini secara teknis aplikasi geometri aljabar dan teori representasi untuk TCS, mereka dituntun untuk memperkenalkan kelompok-kelompok kuantum baru dan gagasan-gagasan teoretis aljebro-geometris dan representasi-murni semata-mata dalam mengejar P vs NP.)
• Kerjakan embossing metrik yang terinspirasi oleh algoritma aproksimasi dan hasil yang tidak dapat diperkirakan

Saya khususnya tidak mencari aplikasi TCS untuk logika (teori model hingga, teori bukti, dll) kecuali mereka sangat mengejutkan - hubungan antara TCS dan logika terlalu dekat dan standar dan historis untuk keperluan pertanyaan ini.

Ekspander dikembangkan sebagian besar dalam TCS dan mereka memiliki koneksi dan aplikasi yang mendalam untuk matematika.

Ada bukti Dvir tentang dugaan bidang terbatas Kakeya.

Contoh lucu yang saya tahu adalah makalah Michael Freedman berjudul " Kelas Kompleksitas sebagai Aksioma Matematika " yang memberikan implikasi dalam bidang topologi 3-manifold.$P^{\sharp P}\neq NP$

Prinsip invarian dimotivasi dari kekerasan perkiraan, tetapi merupakan teorema analitik yang berguna. Prinsipnya: Fungsi derajat rendah, di mana masing-masing variabel memiliki pengaruh kecil, berperilaku hampir sama, tidak peduli apakah inputnya adalah variabel acak independen, atau (sesuai) variabel acak Gaussian. Ini adalah generalisasi dari teorema limit pusat; di sana fungsinya adalah rata-rata dari variabel.

Stabilitas fungsi kebisingan dengan pengaruh rendah: invarian dan optimalitas E. Mossel, R. O'Donnell, K. Oleszkiewicz. Annals of Mathematics 171 (1), hlm. 295-341 (2010). FOCS '05.

Teorema pengujian tingkat rendah dimotivasi oleh aplikasi PCP, tetapi teorema aljabar yang menarik. Prinsipnya: Fungsi -variate pada bidang hingga F yang, rata-rata di atas garis dalam F n , dekat dalam jarak Hamming ke polinomial derajat rendah pada garis , dekat dalam jarak Hamming ke polinomial derajat rendah pada seluruh F n .$n$$F$$F^n$$F^n$

Kedekatan dalam jarak Hamming ke polinomial derajat rendah dalam ruang tertentu berarti bahwa fungsi mengidentifikasi dengan polinomial derajat rendah pada beberapa fraksi ruang yang tidak dapat diabaikan.

Peningkatan Pengujian Tingkat Rendah dan Aplikasinya . S. Arora dan M. Sudan. Dalam ACM STOC 1997.

A-Constant Error-Probability Uji Tingkat Rendah, dan Sub-Constant Error-Probability Karakterisasi PCP dari NP , R.Raz, S.Safra, Prosiding STOC ke-29, 1997, hlm. 475-484

Meskipun saya bias, saya pikir itu adil untuk mengatakan bahwa berbagai ide dari TCS telah berkontribusi pada kemajuan dugaan terbalik untuk norma Gower, lihat misalnya makalah oleh Green dan Tao .

Apakah teori komputabilitas merupakan bagian dari TCS? Jika demikian, maka Teori Komputasi dan Geometri Diferensial oleh Bob Soare, yang mengekspos aplikasi hasil yang diperolehnya dengan Csima, adalah contohnya.

Tidak tahu mengapa tautannya tidak muncul .... Di sini: http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/res/Geometry/geom.pdf

Extractors adalah tempat lain untuk mencari. Misalnya, makalah oleh Barak-Kindler-Shaltiel-Sudakov-Wigderson'04 memberi (antara lain) peningkatan konstruksi grafik Ramsey (masalah yang telah terbuka untuk sementara waktu dalam matematika diskrit).

$\epsilon$

The Zig Zag-konstruksi expander digunakan untuk membangun berbagai contoh yang menarik dari kelompok dengan sifat tak terduga tertentu, lihat Meshulam-Wigderson , Rozenman-Shalev-Wigderson . Konstruksi itu sendiri sangat menarik dari sudut pandang matematika murni, karena menggunakan alat yang sama sekali berbeda (termotivasi oleh sudut pandang CS berurusan dengan entropi) untuk membangun ekspander daripada konstruksi sebelumnya. (Namun mungkin aplikasi yang paling terkenal adalah di dalam algoritma logspace TCS- Reingold untuk konektivitas tidak terarah .)

Izinkan saya menyebutkan beberapa aplikasi lagi:

Mungkin kontribusi paling penting dari TCS untuk matematika murni adalah seni reduksi. Pengurangan bentuk yang digunakan oleh TCS dalam kompleksitas komputasi dan tempat-tempat lain merupakan paradigma / alat matematika yang lebih berkembang dalam TCS dibandingkan dengan bidang matematika lainnya.

Gagasan tentang bukti probabilistik: Di sini saya tidak merujuk pada metode probabilistik (yang berakar pada matematika tetapi memiliki banyak aplikasi untuk CS) tetapi lebih kepada fakta bahwa pernyataan matematika seperti pernyataan yang mengklaim angka tertentu adalah bilangan prima, dapat diberi bukti "tanpa keraguan". Ini adalah terobosan konseptual yang berasal dari CS, meskipun belum memiliki banyak aplikasi dalam cara matematika dipraktekkan.

Bukti konstruktif Moser tentang Lemas Lokal Lovasz menggunakan gagasan ilmu komputer, memberikan bukti baru tentang lemma Lovasz Lokal, dan memecahkan masalah yang telah dipikirkan orang selama beberapa waktu.

The Batson-Spielman-Srivastava metode fungsi penghalang telah memiliki sejumlah aplikasi untuk geometri dan analisis fungsional, muncul dalam ilmu komputer, dan merupakan bentuk yang sangat asli dari fungsi potensial argumen, mengingatkan pada metode penduga pesimis. Selain itu, bertentangan dengan kebijaksanaan konvensional yang menganalisis polinomial karakteristik dari matriks acak tidak bisa dilakukan, dan orang lebih baik melihat momen matriks sebagai gantinya.

Metode fungsi penghalang pertama kali dikembangkan untuk membuktikan keberadaan (dan membangun dalam waktu polinomial deterministik) dari grafik yang mempertahankan sifat spektralnya. Sparsifier seperti itu dimotivasi oleh aplikasi algoritmik: pada dasarnya algoritma apa pun yang perlu menghitung pemotongan kira-kira dapat dipercepat dengan diberikan sebagai input versi sparsifikasi dari input asli.

$\ell_1^n$

Maju cepat ke 2013, dan metode fungsi penghalang, pada steroid, dan ditambah dengan mesin polinomial interlacing, digunakan oleh Marcus, Srivastava, dan Spielman , untuk memecahkan salah satu masalah yang paling terkenal dalam analisis fungsional, masalah Kadison-Singer . Masalah ini muncul dari pertanyaan mendasar dalam fisika matematika, tetapi ia melangkah lebih jauh - diketahui setara dengan puluhan masalah di seluruh matematika. Belum lagi bahwa banyak analis (termasuk Kadison dan Singer) bahkan tidak berpikir masalah memiliki resolusi positif (survei yang dikutip oleh Cassaza et al. Berspekulasi tentang kemungkinan contoh tandingan).

Salah satu contoh yang terlintas dalam pikiran adalah Teorema Penyematan Higman dan konsekuensi teoretis kelompoknya.

Teorema Penyematan Higman: Grup G dihasilkan secara halus dengan presentasi rekursif jika G adalah subkelompok dari kelompok yang disajikan secara halus.

(Perhatikan bahwa bagian kiri dari kesetaraan memiliki komponen komputasi sedangkan yang kanan adalah murni teori kelompok).

Arti keacakan , apa yang dianggap sebagai "urutan acak" dan pertanyaan terkait adalah penting dalam matematika, teori probabilitas, dan statistik selama berabad-abad. Ilmu komputer teoretis (dan teori kompleksitas) menawarkan wawasan mendalam dan meyakinkan yang sangat kuat untuk memahami keacakan.

Sedangkan metode probabilistik dimulai dalam derandomisasi matematika yang merupakan konsep matematika penting terutama dikembangkan di CS.

Ini terkait dengan jawaban Moritz .

Teori Automata dan aljabar

Teori Automata telah memberikan beberapa hasil menarik untuk mengkarakterisasi aljabar. Saya menyebutkan dua dari mereka, dengan referensi. Ini sama sekali tidak lengkap.

$\mathbb F_q(t)$

$\mathbb F_q(t)$$q$$q=p^s$$p$$s$$\mathbb F_q[[t]]$$\mathbb F_q$

$\mathbb F_q(t)$$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i=0}^\infty$$p$

$\mathbb F_q(t)$

$\sum_{i\in I} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i\in I}$$p$

2. Angka transendental

Urutan otomatis juga digunakan untuk mengkarakterisasi bilangan transendental. Misalnya,

$b$$\ge 2$$x\in\mathbb R$$\mathbf x=\{x_i\}_{i=0}^\infty$$b$

1. $\mathbf x$$x$
2. $\mathbf x$$b$$x$
3. $x$

Tentu saja, item pertama adalah hasil yang sangat klasik!

Referensi.

[1] Gilles Christol. Ensembles menghadirkan périodiques k-reconnaissables . Dalam Theoretical Computer Science 9 (1), hlm 141-145, 1979.

[2] Kiran S. Kedlaya. Hingga automata dan ekstensi aljabar bidang fungsi . Dalam Journal de théorie des nombres de Bordeaux 18 , hlm 379-420, 2006. arXiv: math / 0410375 .

[3] Boris Adamcweski, Yann Bugeaud. Pada kompleksitas bilangan aljabar I. Ekspansi dalam basis bilangan bulat . Dalam Annals of Mathematics 165 (2), pp 547-565, 2007.

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

TCS IMHO adalah cabang matematika dan saya akan mengatakannya sedikit lebih luas. Kita hidup di zaman algoritmik, hampir semua orang, dalam semua aktivitas manusia, menciptakan / menciptakan kembali algoritma, terutama heuristik. Tetapi beberapa dari algoritma tersebut adalah 1. baik; 2. berisi (dikubur) jawaban untuk pertanyaan matematika yang mendalam; 3. Tunggu analisis / peningkatan / perhatian matematika profesional. Pengalaman pribadi saya: kekuatan menakjubkan dari satu heuristik fisika / pembelajaran mesin, yaitu Perkiraan Bethe, sebagai teknik bukti. Masalah utama adalah bahwa kemungkinan pertemuan semacam ini terutama terjadi di industri, di mana tidak ada yang peduli dengan wawasan / wahyu terkait non-produk tersebut.