Rasio emas atau Pi dalam waktu berjalan

21

Ada banyak tempat di mana angka dan muncul. Saya ingin tahu tentang algoritma yang waktu berjalannya mengandung rasio emas atau dalam eksponen. $\pi$ $(1+\sqrt5)/2$ $\pi$

reference-request big-list

— Plummer
sumber

4

Apakah ada alasan komputasi tertentu untuk menduga bahwa itu mungkin? Dan tanpa mengetahui di mana itu muncul, apakah Anda pikir ada wawasan khusus yang bisa diperoleh jika itu terjadi?

— Niel de Beaudrap

13

Rasio emas muncul dalam analisis kompleksitas program yang serupa dalam struktur rekursif dengan rekursi yang terlibat dalam angka-angka Fibonacci : .

F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}

$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$

— Martin Berger

11

The Fortnow dan Melkebeek waktu / ruang yang lebih rendah-terikat untuk SAT solvabilitas yang terkandung rasio emas ( waktu dan ruang); tetapi eksponen telah diperbaiki kemudian oleh Ryan Williams.

n^{ϕ - ϵ}

$n^{\phi - \epsilon}$

n^{o (1)}

$n^{o(1)}$

— Marzio De Biasi

2

@MarzioDeBiasi Saya pikir komentar Anda membuat jawaban yang baik, bahkan jika hasilnya ditingkatkan. Yang menarik adalah bahwa ada analisis yang menghasilkan rasio emas dalam eksponen

— Sasho Nikolov

1

@NieldeBeaudrap Saya berharap untuk melihat beberapa pola di antara contoh-contoh. Misalnya, eksponen e muncul di banyak tempat dalam algoritma acak. Saya tidak terkejut dengan hal itu karena saya tahu bahwa jenis kegiatan bola-dan-sampah mengarah ke jawaban yang melibatkan e. Saya bertanya-tanya apakah sesuatu seperti itu dapat dikatakan tentang algoritma yang memiliki rasio emas dalam waktu berjalan.

— Plummer

22

Ini basis daripada eksponen, tapi ada FPT terikat waktu $O(\varphi^k n^2)$

" Algoritma Tractable Parameter Tetap Efisien untuk Minimisasi Penyeberangan 1-Sisi ", Vida Dujmovic, Sue Whitesides, Algorithmica 40: 15–31, 2004.

Selain itu, batas bawah bukan batas atas, tetapi:

" Sebuah menurunkan terikat pada waktu untuk mensimulasikan satu antrian atau dua pushdown toko oleh satu tape $n^{1.618}$ ", Paul MB Vitányi, Inf. Proc Lett. 21: 147–152, 1985.

Akhirnya, yang saya coba temukan ketika saya berlari melintasi dua yang lain: ham sandwich tree, struktur data yang sekarang usang dalam geometri komputasi untuk kueri rentang segitiga, memiliki waktu kueri . Jadi rasio emas tepat dalam eksponen, tetapi dengan log daripada sebagai dirinya sendiri. Struktur data adalah partisi hierarki pesawat menjadi sel-sel cembung, dengan struktur keseluruhan pohon biner, di mana setiap sel dan saudara kandungnya di pohon dipartisi dengan potongan sandwich ham. Waktu kueri ditentukan oleh perulangan , yang memiliki solusi di atas. Ini dijelaskan (dengan nama yang lebih membosankan) oleh $O(n^{\log_2\varphi})\approx O(n^{0.695})$ $Q(n)=Q(\frac{n}{2})+Q(\frac{n}{4})+O(\log n)$

" Pencarian rentang Halfplanar dalam ruang linear dan waktu permintaan $O(n^{0.695})$ ", Herbert Edelsbrunner, Emo Welzl, Inf. Proc Lett. 23: 289–293, 1986.

— David Eppstein
sumber

1

Saya tidak yakin saya akan merasa nyaman dengan mengatakan bahwa

memiliki

dalam eksponen.

n^{\log_{2} φ} = φ^{\log_{2} n}

$n^{\log_2\varphi}=\varphi^{\log_2n}$

φ

$\varphi$

— Emil Jeřábek mendukung Monica

18

(dari komentar saya di atas)

The Fortnow dan Melkebeek waktu / ruang yang lebih rendah-terikat untuk SAT solvabilitas ( waktu dan spasi) yang terdapat rasio emas di eksponen; tetapi kemudian diperbaiki oleh Ryan Williams . $n^{\phi - \epsilon}$ $n^{o(1)}$

— Marzio De Biasi
sumber

5

Sementara Ryan Williams merusak contoh Fortnow dan Melkebeek Anda, ia juga menyediakan satu lagi di bidang yang sama: di cs.cmu.edu/ ~ryanw/automated-lbs.pdf , ia menunjukkan bahwa tidak ada bukti perdagangan-pergantian

.

c o N T I M E [n] ⊈ N T I M E S P A C E [n^{ϕ + o (1)}, n^{o (1)}]

$\mathrm{coNTIME}[n]\nsubseteq\mathrm{NTIMESPACE}[n^{\phi+o(1)},n^{o(1)}]$

— Emil Jeřábek mendukung Monica

15

Juga di pangkalan daripada eksponen: algoritma Monien-Speckenmeyer untuk 3-SAT memiliki waktu berjalan . Itu adalah batas atas non-trivial pertama untuk 3-SAT. $\varphi^n\cdot O(n)$

— Jan Johannsen
sumber

10

Contoh lain dari di pangkalan adalah algoritma oleh Andreas Björklund dan Thore Husfeldt untuk menghitung paritas dari jumlah siklus Hamiltonian yang diarahkan, yang berjalan dalam waktu . $\varphi$ $O(\varphi^n)$

http://arxiv.org/abs/1301.7250

— Tyson Williams
sumber

9

Juga di dasar: Algoritma penghapusan-kontraksi (Zykov, 1949) untuk menghitung jumlah pewarnaan grafik berjalan dalam waktu . Ini adalah contoh yang sangat kanonik tentang bagaimana rasio emas muncul dari pengulangan Fibonacci untuk waktu berjalan mengevaluasi formula rekursif alami; Saya yakin itu yang tertua. $O(\phi^{|E|+|V|})$

Mikko Koivisto menemukan algoritma untuk menghitung jumlah pencocokan sempurna (IWPEC 2009). $O(\phi^{|V|})$

— Thore Husfeldt
sumber

8

Ransum emas di dasar: Algoritma FPT yang sangat baru oleh Kociumaka dan Pilipczuk, Umpan Balik deterministik yang lebih cepat Vertex Set menghitung FVS ukuran dalam waktu . (Mereka kemudian meningkatkan algoritme mereka untuk berjalan dalam waktu .) $k$ $O^*\left((2 + \phi)^k\right)$ $O^*(3.592^k)$

— vb le
sumber

-2

untuk memperluas komentar Martin Bergers: algoritma GCD Euclidean kuno berjalan dalam waktu kasus terburuk pada dua elemen berturut-turut dari deret Fibonacci. lebih detail tentang wikipedia yang juga menyatakan:

Bukti ini, diterbitkan oleh Gabriel Lamé pada tahun 1844, merupakan awal dari teori kompleksitas komputasi, [93] dan juga aplikasi praktis pertama dari angka-angka Fibonacci. [91]

secara teknis algoritma GCD berjalan dalam waktu logaritmik tetapi rasio emas muncul dalam jumlah langkah algoritma. $O(\log(n))$

[1] berapa kompleksitas waktu dari algoritma Euclids, math.se

— ay
sumber

Bagaimana perbedaan waktu dan jumlah langkah?

— Nicholas Mancuso

maaf yang seharusnya membaca # operasi aritmatika

— vzn

1

\log_{φ} N

$\log_{\varphi}N$

O ((\log N)^{2})

$O((\log N)^2)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

T (a, b)

$T(a,b)$

T (a, b) = O (l o g_{ϕ} b)

$T(a,b)=O(log_\phi b)$

1

O (\log_{ϕ} b)

$O(\log_\phi b)$

O

$O$