Apa yang diketahui tentang kompleksitas menemukan sirkuit minimum untuk SAT?

Apa yang diketahui tentang kompleksitas menemukan rangkaian minimal yang menghitung SAT hingga panjang ? $n$

Secara lebih formal: apa kerumitan fungsi yang, diberi sebagai input, menghasilkan rangkaian minimal C sedemikian rupa sehingga untuk setiap rumus φ dengan | φ | ≤ n , $1^{n}$$C$$\varphi$$|\varphi| \leq n$ ?$C(\varphi) = SAT(\varphi)$

(Saya secara khusus tertarik pada batas bawah.)

Algoritma deterministik naif (menghitung SAT dengan kekuatan kasar hingga panjang , lalu coba semua sirkuit dalam urutan ukuran sampai Anda menemukan yang menghitung SAT dengan panjang hingga n ) membutuhkan waktu ≤ 2 O ( n ) untuk menghitung SAT, dan kemudian O tambahan ( 2 n 2 M ) waktu untuk menemukan sirkuit minimal, di mana M adalah ukuran dari sirkuit minimal. $n$$n$$\leq 2^{O(n)}$$O(2^n 2^M)$$M$

Apakah ada algoritma deterministik yang menemukan sirkuit minimal untuk SAT yang waktu operasinya , di mana M adalah ukuran sirkuit minimal? Atau apakah ini menyiratkan kompleksitas yang runtuh?$o(2^n 2^M)$$M$

Berikut adalah dua hal yang, walaupun terkait dengan pertanyaan saya, jelas bukan yang saya tanyakan (yaitu, saya pikir, mengapa saya merasa agak sulit untuk mencari):

• Rangkaian masalah minimisasi: diberikan sirkuit (atau fungsi f yang diberikan oleh tabel kebenarannya, atau beberapa varian lainnya) menemukan rangkaian minimal C ' komputasi fungsi yang sama seperti C . Sekalipun minimalisasi rangkaian itu mudah, itu tidak selalu berarti bahwa tugas di atas mudah, karena bahkan menghitung fungsi yang ingin kita perkecil (SAT hingga panjang n ) diyakini sulit, sedangkan dalam masalah minimisasi rangkaian fungsi kita ingin meminimalkan adalah gratis (ini diberikan sebagai input).$C$$f$$C'$$C$$n$

• versus P / p o l y . Pertanyaan saya bukan hanya tentangukuransirkuit minimal; ini tentang kompleksitas menemukan rangkaian minimal, terlepas dari ukurannya. Tentunya jika kita dapat menghitung sirkuit minimal dalam waktu polinomial maka N P ⊆ P / p o l y (dan pada kenyataannya N P ⊆ P , sejak itu rangkaian keluarga adalah P- seragam), tetapi kebalikannya tidak perlu benar. Memang, saya percayaImmerman dan Mahaneyadalah yang pertama membangun oracle di mana$NP$$P/poly$$NP \subseteq P/poly$$NP \subseteq P$$P$ tetapi P ≠ N P - yaitu,$NP \subseteq P/poly$$P \neq NP$ memiliki sirkuit ukuran polinomial tetapi tidak dapat ditemukan dalam waktu polinomial.$NP$

Mari kita asumsikan bahwa seseorang tidak dapat menyelesaikan SAT jauh lebih cepat tanpa seragam daripada seragam. Yaitu, ada TM M yang memecahkan SAT dalam waktu T (n), dan sirkuit terkecil untuk SAT memiliki ukuran T '(n) yang tidak jauh lebih kecil dari T (n) (katakanlah, - khususnya ini berlaku jika sirkuit terkecil untuk memecahkan SAT memiliki ukuran 2 Ω ( n $T(n) = poly(T'(n))$$2^{\Omega(n)}$ yang mungkin benar).

Jadi, Anda bisa mendapatkan "minimal" rangkaian minimal dengan hanya menjalankan beberapa simulasi kanonik M oleh suatu rangkaian, dalam waktu yang pada dasarnya optimal (sebanyak waktu yang Anda perlukan untuk menulis output). Hanya untuk alasan ini, saya menduga tidak akan ada batas bawah untuk pertanyaan ini berdasarkan asumsi "baik". Namun, saya tidak tahu bagaimana beralih dari "hampir minimal" menjadi benar-benar minimal. Salah satu cara untuk melakukannya adalah dengan menggunakan fakta bahwa menemukan rangkaian hingga ukuran adalah pertanyaan dalam hierarki polinomial,$S$$T(T(n))$$2^{o(M)}$$T(n)=2^{n^{o(1)}}$ .