Jawabannya adalah ya tanpa persyaratan tentang ukuran otomat. Ia dapat dihitung dalam ruang bahkan untuk DFAs di mana adalah konstanta.k kO(log2n)kk
Biarkan ( menjadi DFA. Kami menunjukkan bahwa, dengan , menghitung DFA minimal yang mengenali dapat dilakukan dalam spasi. Kami pertama-tama membuktikan beberapa hasil teknis.i ∈ [ k ] ) k ⟨ A 1 , ... , A k ⟩ L ( A 1 ) ∩ ⋯ ∩ L ( A k ) O ( log 2 n )Ai=(Qi,Σi,δi,zi,Fi)i∈[k])k⟨A1,…,Ak⟩L(A1)∩⋯∩L(Ak)O(log2n)
Definisi 1 : Misalkan menjadi dua keadaan lalu iff ,q ≡ r ∀ w ∈ Σ ∗ q . w ∈ F ⇔ r . w ∈ Fq,rq≡r∀w∈Σ∗q.w∈F⇔r.w∈F
Kami sekarang mempertimbangkan otomat diberikan oleh konstruksi produk kartesius klasik. Biarkan dan menjadi negara .q = ( q 1 , ... , q k ) r = ( r 1 , ... , r k ) AAq=(q1,…,qk)r=(r1,…,rk)A
Lemma 1 : Memutuskan apakah ada di NL.q≡r
Bukti (sketsa): Kami menunjukkan bahwa pengujian ketidakseimbangan dalam NL dan menggunakan NL = coNL. Tebak kata (satu huruf pada saat itu) sedemikian rupa sehingga adalah kondisi akhir dan tidak. Ini dapat dicapai dengan menghitung dalam log-space untuk dan menggunakan fakta bahwa adalah final iff . Dapat ditunjukkan bahwa menyiratkan keberadaan dari ukuran-poli. q . w r . w q i . w , r i . w i ∈ [ k ] q q i ∈ F iw∈Σ∗q.wr.wqi.w,ri.wi∈[k]qqi∈Fi∀i∈[k]q≢rw
Lemma 2 : Memutuskan apakah dapat diakses di NL.q
Bukti (sketsa): Tebak jalur (ukuran-poli) dari ke ( ).q i i ∈ [ k ]ziqii∈[k]
Definisi 2 : Pertimbangkan keadaan dalam urutan leksikografis. Tentukan sebagai negara yang dapat diakses pertama dan negara yang dapat diakses pertama setelah yang tidak setara dengan keadaan sebelumnya. Kami mendefinisikan sebagai unik sedemikian rupa sehingga .s ( 1 ) s ( i ) s ( i - 1 ) c ( q ) i q ≡ s ( i )As(1)s(i)s(i−1)c(q)iq≡s(i)
Lemma 3 : dapat dihitung dalam ruang .O ( log 2 n )s(i)O(log2n)
Bukti (sketsa): Definisi 2 menghasilkan suatu algoritma. Kami menggunakan counter untuk beralih ke negara bagian. Biarkan dan menjadi kondisi saat ini. Di setiap negara bagian, kami menggunakan lemma 2 untuk memverifikasi apakah dapat diakses. Jika ya, kami mengulangi setiap status sebelumnya dan kami memverifikasi apakah ada di antaranya yang setara dengan . Jika tidak ada, kami menambah dan output jika . Kalau tidak, kita menyimpan sebagai dan kami melanjutkan. Karena kami hanya menyimpan jumlah penghitung yang konstan dan pengujian kami dapat dilakukan dalamj ← 0 q q q j q j = i qkj←0qqqjqj=iqNL ⊆ DSPACE ( log 2 n )s(j)NL⊆DSPACE(log2n), ini melengkapi buktinya.
Akibat wajar 1 : dapat dihitung dalam ruang .O ( log 2 n )c(q)O(log2n)
Teorema : Meminimalkan dapat dilakukan dalam ruang .O ( log 2 n )AO(log2n)
Bukti (sketsa): Biarkanmenjadi terbesar sehingga didefinisikan (mis. jumlah kelas ). Kami memberikan algoritme yang mengeluarkan otomat manai s ( i ) ≡ A ′ = ( Q ′ , Σ , δ ′ , z ′ , F ′ )1≤m≤|Q0|⋯|Q1|is(i)≡A′=(Q′,Σ,δ′,z′,F′)
- Q′={s(i):i∈[m]} ;
- F′={q∈Q′:qi∈Fi∀i∈[k]} ;
- q = ( z 0 , … , z k )z′=s(c(q)) mana .q=(z0,…,zk)
Kami sekarang menunjukkan cara menghitung . Untuk setiap , hitung dan output transisi . Oleh lemma 3 dan akibat wajar 1, algoritma ini berjalan dalam ruang . Dapat diperiksa bahwa minimal dan . i ∈ [ m ] , a ∈ Σ q ← s ( i ) . a ( s ( i ) , a , s ( c ( q ) ) ) O ( log 2 n ) A ′ L ( A ′ ) = L ( A )δ′i∈[m],a∈Σq←s(i).a(s(i),a,s(c(q)))O(log2n)A′L(A′)=L(A)