Menemukan lubang aneh di grafik Paley yang sirkuler

The Paley grafik P _q adalah mereka yang simpul-set diberikan oleh bidang yang terbatas GF (q), untuk kekuatan utama q≡1 (mod 4), dan di mana dua simpul yang berdekatan jika dan hanya jika mereka berbeda oleh ² untuk beberapa a ∈ GF (q). Dalam kasus q adalah prima, bidang hingga GF (q) hanyalah himpunan bilangan bulat modulo q.

Dalam sebuah makalah baru - baru ini , Maistrelli dan Penman menunjukkan bahwa satu-satunya grafik Paley yang sempurna (memiliki bilangan kromatik yang sama dengan ukuran klik terbesarnya) adalah grafik one on sembilan simpul. Ini menyiratkan, khususnya, bahwa tidak ada grafik Paley P _q yang sempurna untuk q prime.

The Strong Perfect Graph Theorem menyatakan bahwa grafik G sempurna jika dan hanya jika kedua G dan komplemennya tidak memiliki lubang ganjil (subgraph yang diinduksi yang merupakan siklus dengan panjang ganjil, dan ukuran setidaknya 5.) Grafik Paley dari urutan utama adalah saling melengkapi, dan tidak sempurna; karena itu mereka harus berisi lubang aneh.

Pertanyaan. Untuk q≡1 (mod 4) prime, apakah ada algoritma poly (q) untuk menemukan lubang aneh di P _q ? Apakah ada algoritma polylog (q)? Keacakan dan dugaan teori bilangan populer diperbolehkan.

Saya percaya ada algoritma poly (q) yang dikenal. Pemahaman saya tentang algoritma oleh Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour, dan Vušković, "Mengenali Grafik Berge", Combinatorica 2005 , adalah bahwa ia menemukan lubang ganjil atau antihol ganjil dalam setiap grafik yang tidak sempurna pada setiap waktu polinomial. Para penulis menulis pada halaman 2 dari makalah mereka bahwa masalah menemukan lubang ganjil dalam grafik yang membuatnya tetap terbuka, karena langkah 1 dan 3 algoritma mereka menemukan lubang tetapi langkah 2 mungkin menemukan antihole sebagai gantinya. Namun, dalam kasus grafik Paley, jika Anda menemukan antihole, cukup gandakan semua simpul di dalamnya dengan nonresidue untuk mengubahnya menjadi lubang aneh sebagai gantinya.

Atau, dengan analogi dengan grafik Rado, untuk setiap k harus ada N sehingga grafik Paley pada N atau lebih banyak simpul harus memiliki properti ekstensi: untuk setiap himpunan bagian yang lebih kecil dari k k simpul, dan setiap 2-warna dari himpunan bagian, ada titik lain yang berdekatan dengan setiap titik dalam satu kelas warna dan tidak berdekatan dengan setiap titik dalam kelas warna lainnya. Jika demikian, maka untuk k = 5 Anda dapat membuat lubang 5 aneh dengan rakus dalam waktu polinomial per langkah. Mungkin arah ini diharapkan untuk algoritma poli (log (q))? Jika berhasil, setidaknya akan menunjukkan bahwa ada lubang aneh pendek, yang tampaknya merupakan prasyarat yang diperlukan untuk menemukan mereka dengan cepat.

Sebenarnya, itu tidak akan mengejutkan saya jika berikut ini adalah algoritma poli (log (q)): jika q lebih kecil dari konstanta tetap, lihat jawabannya, kalau tidak serakah membangun 5-lubang aneh dengan mencari secara berurutan melalui angka 0, 1, 2, 3, ... untuk simpul yang dapat ditambahkan sebagai bagian dari lubang 5 parsial. Tetapi mungkin membuktikan bahwa ia bekerja dalam waktu poly (log (q)) akan membutuhkan beberapa teori bilangan yang dalam.

Dengan hasil Chung, Graham, dan Wilson, "Quasi-random graphs", Combinatorica 1989, algoritma acak berikut ini memecahkan masalah dalam jumlah percobaan yang diharapkan konstan ketika q adalah prima: jika q cukup kecil kemudian mencari jawabannya, atau berulang-ulang pilih satu set acak lima simpul, periksa apakah mereka membentuk lubang aneh, dan jika demikian kembalikan. Tetapi mereka tidak mengatakan apakah itu berfungsi ketika q bukan prima tetapi kekuatan prima, jadi mungkin Anda harus lebih berhati-hati dalam kasus itu.