Kekerasan Pemisah Vertex

Untuk grafik diberikan , Masalah Pemisah menanyakan apakah set vertex atau edge dari kardinalitas kecil (atau berat) ada yang memindahkan partisi G menjadi dua grafik terpisah dengan ukuran yang kira-kira sama. Ini disebut Masalah Pemisah Verteks ketika himpunan yang dihapus adalah himpunan simpul, dan Masalah Pemisah Tepi saat itu merupakan perangkat tepi. Kedua masalah adalah NP-lengkap untuk grafik umum tidak tertimbang. Apa kekerasan yang paling dikenal untuk mendekati vertex separator? Apakah PTAS disingkirkan? Apa hasil kekerasan paling dikenal dalam pengaturan diarahkan?$G$$G$

Koreksi : Tautan dan jawaban berikut tidak membantu saya karena saya tidak menyatakan pertanyaan saya dengan benar. Pertanyaan saya terkait dengan teorema Leighton-Rao berikut:

Teorema : Ada algoritma waktu polinomial yang, diberikan grafik dan satu set W ⊆ V , menemukan $G(V,E)$$W \subseteq V$ titik pemisahS⊆VdariWdiGukuranO(w.Logn), di manawadalah ukuran minimum dari$\frac{2}{3}$$S \subseteq V$$W$$G$$O(w.{\log}n)$$w$ pemisah -vertex dariWdiG.$\frac{1}{2}$$W$$G$

Mengingat grafik dan satu set W ⊆ V , saya ingin mencari δ -vertex pemisah (di mana $G(V,E)$$W \subseteq V$$\delta$adalah konstan) dari ukuranw, di manawadalah ukuran minimum dari$\frac{1}{2} \leq \delta \leq 1$$w$$w$ pemisah -vertex dariWdiG. Apa kekerasan yang paling dikenal dari masalah ini? Teorema di atas memberikan perkiraanO(logn)untuk masalah ini.$\frac{1}{2}$$W$$G$$O({\log}n)$

$|V|/2$

$O(\log n)$

Sebuah tinjauan yang baik dari karya yang diketahui tentang masalah ini (yang menghubungkan ke pemotongan sparsest, penyebaran metrik, dan bahkan dugaan game unik) ada dalam makalah baru-baru ini tentang generalisasi lebar pembelahan oleh Krauthgamer, Naor dan Schwartz.

$O(\sqrt{\log n})$$O(\log n)$Leighton dan Rao; mereka melakukan ini untuk kasing tepi. Agrawal-Charikar-Makarychev-Makarychev menggunakan hasil tersebut untuk mendapatkan batas yang sama untuk pemotongan sparsest terarah (jika seseorang tertarik pada pemotongan bipartisi vertex). Feige-Hajiaghayi-Lee pada saat yang sama memperoleh ikatan serupa lagi melalui ARV untuk pemisah verteks (dan juga menunjukkan bahwa treewidth dapat diperkirakan dalam faktor yang sama). Orang harus mencatat bahwa ada gagasan lain tentang pemotongan sparsest pada grafik terarah di mana Chuzhoy-Khanna menunjukkan hasil kekerasan dalam kasing tidak seragam, tetapi saya tidak yakin dengan kasing seragam. Saya pikir hasil kekerasan super-konstan dikenal untuk pemotongan paling jarang (seragam) di bawah UGC tapi saya tidak yakin.