Algoritma Runtime of Grover

19

Apa kompleksitas waktu (bukan kompleksitas kueri) dari algoritma Grover? Tampak jelas bagi saya bahwa itu adalah karena ada $\Omega(\log(N) \sqrt{N})$ iterasi dan setiap iterasi membutuhkan penggunaan operasi refleksi yang pada gilirannya membutuhkan waktumenggunakan setiap set standar gerbang universal. $\Omega(\sqrt{N})$ $\Omega(\log(N))$

Masalahnya adalah, saya tidak dapat menemukan satu pun referensi yang mengatakan kompleksitas waktu dari algoritma Grover adalah . Wikipedia, dan beberapa halaman web lainnya, ucapkan $\Omega(\log(N) \sqrt{N})$ kompleksitas waktu. Makalah Grover mengklaim $O(\sqrt{N})$ "langkah". $O(\sqrt{N})$

Apakah saya melewatkan sesuatu? Mungkin orang mendefinisikan operasi refleksi untuk mengambil satuan waktu. Tetapi itu tidak masuk akal bagi saya karena jika kita dapat memainkan permainan yang memungkinkan unitarian sewenang-wenang untuk mengambil satuan waktu maka tidak akan ada perbedaan antara kompleksitas kueri dan kompleksitas waktu.

reference-request quantum-computing time-complexity

— Dan Stahlke
sumber

11

Saya tidak dapat memikirkan referensi yang berbicara tentang kompleksitas waktu dari algoritma Grover, tetapi apa yang Anda tulis adalah benar. Bahkan, lebih dari setiap gerbang himpunan berhingga, operasi yang dilakukan antara permintaan dalam algoritma Grover membutuhkan setidaknya

gerbang, karena masing-masing gerbang memiliki lebar terbatas tetapi kita perlu melakukan sebuah gerbang yang mempengaruhi semua

qubit.

Ω (\log N)

$\Omega(\log N)$

\log N

$\log N$

— Robin Kothari

11

Pertanyaan biasanya diambil untuk diperdebatkan, karena alasan berikut. Algoritma Grover adalah algoritma pencarian kombinatorial untuk menemukan solusi predikat sewenang-wenang. Sementara, ya, adalah kompleksitas gerbang kuantum di setiap tahap algoritma kotak-hitam, predikat perlu dihitung juga. Kompleksitas gerbang kuantum yaitu $\Theta(\log N)$ $\Omega(\log N)$ , karena jika tidak, ia tidak akan membaca seluruh input dan Anda dapat membuang beberapa bit input dari pencarian. Di sisi lain, predikat yang menarik bisa memakan waktu lebih banyak dari itu. Oleh karena itu, jumlah panggilan ke predikat dianggap sebagai koin standar, seperti halnya analog klasik algoritma Grover, yaitu menebak acak.

— Greg Kuperberg
sumber

6

Ternyata ada cara untuk mengimplementasikan algoritma Grover dengan kurang dari gerbang! Itu sebabnya Anda tidak dapat menemukan referensi yang mengklaim bahwa $O(\sqrt{N}\log N)$ diperlukan gerbang. Setidaknya dalam kasus di mana ada satu item yang ditandai dimungkinkan untuk melakukan yang lebih baik. $\Omega(\sqrt{N}\log N)$

Pracetak baru-baru ini oleh Arunachalam dan de Wolf menyediakan algoritma baru untuk menyelesaikan masalah pencarian dengan satu item yang ditandai dengan kompleksitas kueri dan hanya $O(\sqrt{N})$ gerbang (dari gerbang mengatur Toffoli + semua gerbang satu-qubit). $O(\sqrt{N}\log(\log^* N))$

$\log(\log^* N)$ $N$ $\log(\log^* N)$

— Robin Kothari
sumber