Apakah generalisasi P dan NP alami ada?

Jawaban yang Diterima

Jawaban Scott Aaronson telah "diterima" (terutama karena itu satu - satunya jawaban!)

Ringkasan jawaban satu kalimat   Generalisasi yang wajar dan wajar dari pertanyaan P versus NP tidak jelas lebih mudah diselesaikan daripada P versus NP itu sendiri.

Satu halangan terhadap jawaban umum   . Pertanyaan awal mengasumsikan bahwa setiap kelas kompleksitas A mengaitkan "secara alami" dengan generalisasi nondeterministik NA - namun demikian, kompleksitas kelas A dapat didefinisikan dalam banyak cara, sehingga peta-peta N $\colon\,$SEBUAH$\,\to\,$NA tidak dapat (tampaknya) siap diberikan spesifikasi yang sepenuhnya umum dan nyata.

Namun ...   komentar dkuper (di bawah ) menyediakan tautan ke ceramah oleh Christos Kapoutsis (LIAFA), berjudul Minicomplexity , yang menggambarkan strategi penelitian sesuai dengan yang ditunjukkan.

Untuk diskusi lebih lanjut, sumber yang direkomendasikan adalah Lost Lip karya Dick Lipton / Ken Regan Gödel dan esai P = NP berjudul We Believe A Lot, But Can Prove Little.

Pertanyaan itu akhirnya diajukan

Pertanyaan   Sifat apa yang dimiliki oleh setiap kelas kompleksitas A ⊂ P yang lebih kaya dari NTIME (n ln n), bertindak untuk menghalangi bukti A ⊂ NA?

Pertanyaan ini dimotivasi oleh komentar weblog baru-baru ini oleh Scott Aaronson (lihat di bawah), dan kekayaan teori-kompleksitas dari pertanyaan ini kemudian diterangi oleh komentar / jawaban / esai oleh Robin Kathari , Scott Aaronson , Ryan Williams , Dick Lipton dan Ken Regan , dan pertanyaan TCS StackExchange sebelumnya .

$\overset{?}{\subset}$

Seperti banyak orang, saya telah lama menghargai kesulitan yang sangat besar dalam membuktikan P ⊂ NP, tetapi sebelumnya tidak menghargai bahwa membuktikan A ⊂ NA adalah masalah terbuka bagi (pada dasarnya) semua kelas kompleksitas komputasi.

Pertanyaan awalnya diajukan

Di weblog-nya Shtetl Optimized , Scott Aaronson mengeluarkan tantangan TCS berikut :

The shtetl Optimized TCS Tantangan    Jika Anda percaya P vs NP diputuskan, maka Anda perlu jawaban:

The shtetl Optimized TCS Pertanyaan    Mengapa apapun intuisi memberitahu Anda bahwa [ P vs NP diputuskan ] tidak juga memberitahu Anda bahwa P vs EXP, NL dibandingkan PSPACE, MAEXP dibandingkan P / poli, TC0 dibandingkan AC0, dan NEXP dibandingkan ACC pertanyaan yang sama tidak dapat ditentukan?

(Jika Anda tidak tahu, itu adalah lima pasang kelas kompleksitas yang telah terbukti berbeda satu sama lain, kadang-kadang menggunakan ide yang sangat canggih.)

Jawaban untuk pertanyaan spesifik berikut akan diterima:

Q1 (pertanyaan literatur TCS)    Apakah ada kelas kompleksitas yang diketahui A dan B terbukti memenuhi A ⊂ B dan NA ⊇ B, untuk NA perpanjangan non-deterministik alami A?

Andaikata jawaban untuk Q1 adalah "ya", penjelasan yang diinginkan tentang bagaimana hal itu terjadi bahwa inklusi ketat A ⊂ B telah dibuktikan, sedangkan P (NP inklusi ketat yang mirip) super sulit untuk dibuktikan.

Atau, jika jawaban untuk Q1 adalah "tidak", satu pertanyaan lebih lanjut ditanyakan:

Q2 ( The Extended Shtetl Dioptimalkan TCS Question ) Apakah inklusi kelas kompleksitas dari bentuk umum A ⊂ B dan NA ⊇ B dapat dibuktikan - dalam ZFC atau ekstensi terbatas ZFC - untuk kelas kompleksitas "alami" apa pun? (jika "ya" buat contoh; jika "tidak" buktikan obstruksi).

   Penghargaan dan terima kasih dari PostScript diperluas ke TCS StackExchange untuk mempertahankan komunitas matematika yang sangat menginspirasi dan membantu ini, dan kepada Scott Aaronson karena mempertahankan weblognya yang mengagumkan Shtetl Optimized!

John, sementara komentar baik Anda dihargai, saya akui bahwa saya tidak mengerti bagaimana pertanyaan Anda berhubungan dengan poin sederhana yang saya buat dalam komentar yang dikutip. Semua yang saya katakan adalah bahwa kita lakukan mengetahui berbagai pemisahan antara kelas kompleksitas, seperti P ≠ EXP, MA _EXP ⊄P / poli, NEXP⊄ACC, dll Jadi, jika Anda percaya bahwa pemisahan tertentu, seperti P ≠ NP, adalah " terlalu dalam untuk atau tidak dapat dibuktikan dalam menetapkan teori ZF"(atau apa pun), maka tampaknya bagi saya bahwa beban jatuh pada Anda untuk menjelaskan mengapa Anda berpikir bahwa pemisahan harus independen dari ZF, sedangkan pemisahan lainnya ternyata tidak menjadi. Agar argumen ini memiliki kekuatan, saya tidak melihat perlunya pemisahan lain untuk memiliki bentuk khusus yang Anda tentukan.

Tapi untuk menjawab pertanyaan Anda tetap: baik, tantangan jelas dalam penjawab adalah untuk menemukan setiap kelas kompleksitas A yang kami dapat membuktikan bahwa A secara ketat terkandung dalam NA, di mana NA adalah "perpanjangan alami non-deterministik A"! (Memang, seperti yang ditunjukkan Robin di atas, menemukan nilai A seperti itu setara dengan menjawab pertanyaan Anda seperti yang telah Anda nyatakan). Dan satu-satunya contoh nilai A yang dapat saya pikirkan adalah hal-hal seperti TIME (f (n)) ( terbukti pada tahun 1970an bahwa TIME (f (n)) ≠ NTIME (f (n)) untuk f (n) ≤ n log * n, karena NTIME (f (n)) dapat mensimulasikan waktu sedikit lebih besar daripada f (n) )). (Versi sebelumnya dari posting ini mengklaim bahwa itu dikenal untuk semuaf (n). Terima kasih kepada Ryan Williams untuk koreksi!) Jadi pengaturan A = TIME (n) dan B = NTIME (n) memang akan menjawab pertanyaan Anda di afirmatif. Contoh yang lebih "alami" mungkin perlu menunggu terobosan dalam teori kompleksitas.

[Catatan Akhir: Saya ingin mengklarifikasi bahwa saya tidak memberikan nama-nama yang luar biasa seperti "The Shtetl Dioptimalkan ini atau itu" --- itu adalah elaborasi Sidles!]