Memukul set dengan subfamili

Mari menjadi keluarga subset -element dari alam semesta terbatas benda. Sebuah keluarga dari subset -element dari , dengan , adalah - Memukul-set dari jika untuk setiap terdapat setidaknya satu set seperti bahwa .$F$$d$$U$$H$$k$$U$$1 \le k < d$$(k,d)$$F$$V \in F$$W \in H$$W \subset V$

Mengingat koleksi seperti di atas, yang - memukul-set masalah adalah untuk menemukan terkecil -hitting-set untuk .$F$$(k,d)$$(k,d)$$H$$F$

Ketika kita memiliki masalah standar mengenai hitting-set, dan ada banyak hasil sebelumnya untuk itu. Saya tahu analisis parameter untuk kasus dengan dan (lihat Brankovic dan Fernau , misalnya).$k = 1$$k = 1$$d \le 3$

Adakah yang tahu hasil apa pun mengenai kompleksitas atau kekerasan perkiraan dari masalah set-memukul dengan:$(k,d)$

1. $k = 1$ dan ?$d = 4$
2. $d = 4$ dan ?$1 < k < d$
3. $1 \le k < d$ dan sewenang-wenang?$d$

Untuk konstan yang -hitting set masalah adalah tidak lebih sulit daripada yang asli -hitting set (yaitu ) dalam pandangan dari kedua pendekatan dan kompleksitas parametrized. Ada pengurangan sederhana dari -HS ke -HS. Sebagai contoh dari masalah pertama kita mendapatkan sebuah instance dari dari yang kedua di mana setiap elemen sesuai dengan -element bagian dari , dan setiap set di dapat disamakan dengan set di dengan cara yang sama (yaitu pemetaan semua$d$$(k,d)$$d$$k=1$$kd$$d$$(U,\mathcal{F},d,k)$$(U',\mathcal{F'},d)$$e \in U'$$k$$U$$\mathcal{F'}$$\mathcal{F}$$k$ himpunan bagian himpunan elemen ke dalam ). Karena adalah konstanta, ukuran instance baru adalah fungsi polinomial dari ukuran instance pertama ( ). Hitting set untuk masalah pertama berhubungan dengan hitting set kardinalitas yang sama untuk masalah kedua dan sebaliknya, maka pengurangannya adalah perkiraan yang dipertahankan.$U$$U'$$k$$O(n^k)$