Saya tidak yakin level apa yang cocok untuk artikel Wikipedia (artikel yang berbeda tampaknya ditujukan untuk tingkat keahlian yang berbeda) atau tepatnya apa yang Anda cari. Jadi, inilah yang coba, tapi saya terbuka untuk umpan balik.
Teori kompleksitas geometri mengusulkan untuk mempelajari kompleksitas komputasi dari fungsi komputasi (katakanlah, polinomial) dengan mengeksploitasi simetri yang melekat dalam kompleksitas dan setiap simetri tambahan dari fungsi yang sedang dipelajari.
Seperti banyak pendekatan sebelumnya, tujuan utamanya adalah untuk memisahkan dua kelas kompleksitas dengan menunjukkan bahwa ada polinom yang mengambil fungsi sebagai input (katakanlah , dengan koefisien vektor mereka) sehingga menghilang pada setiap fungsi tetapi tidak hilang pada beberapa fungsi . pfpf∈ C e a s y g h a r d ∈ C h a r dCeasy,Chardpfpf∈Ceasyghard∈Chard
Gagasan kunci pertama (lih. [GCT1, GCT2]) adalah menggunakan simetri untuk mengatur bukan fungsi itu sendiri, tetapi untuk mengatur properti ( algebro-geometrik ) dari fungsi-fungsi ini, seperti yang ditangkap oleh polinomial sepertip atas. Ini memungkinkan penggunaan teori representasi dalam berusaha menemukan . Gagasan serupa yang berkaitan dengan teori representasi dan geometri aljabar telah digunakan dalam geometri aljabar sebelumnya, tetapi setahu saya tidak pernah seperti itu.p
Gagasan kunci kedua (lih. [GCT6]) adalah menemukan algoritma kombinatorial (dan waktu polinomial) untuk masalah representasi-teoretik yang dihasilkan, dan kemudian merekayasa balik algoritme ini untuk menunjukkan bahwa ada. Ini dapat diambil dalam semangat menggunakan Linear Programming (suatu algoritma) untuk membuktikan pernyataan murni kombinasi tertentu.p
Memang, [GCT6] menyarankan pengurangan masalah representasi-teori di atas menjadi masalah Pemrograman Integer , kemudian menunjukkan bahwa IP yang dihasilkan diselesaikan dengan relaksasi LP mereka, dan akhirnya memberikan algoritma kombinatorial untuk LP yang dihasilkan. Dugaan dalam [GCT6] sendiri termotivasi oleh hasil rekayasa balik yang diketahui untuk koefisien Littlewood-Richardson, masalah analog tetapi lebih mudah dalam teori representasi. Dalam kasus koefisien LR, aturan kombinatorial Littlewood-Richardson adalah yang pertama. Kemudian Berenstein dan Zelevinsky [BZ] dan Knutson dan Tao [KT] (lihat [KT2] untuk ikhtisar yang bersahabat) memberikan IP untuk koefisien LR. Knutson dan Tao juga membuktikan dugaan saturasi, yang menyiratkan bahwa IP diselesaikan dengan relaksasi LP-nya (lih. [GCT3, BI]).
Hasil dari [GCT5] menunjukkan bahwa secara acak derandomisasi Normalisasi Lemma Noether pada dasarnya setara dengan masalah terbuka yang terkenal dalam teori kompleksitas derandomisasi kotak hitam pengujian identitas polinomial . Secara kasar bagaimana hal ini cocok dengan program yang lebih besar adalah bahwa menemukan basis eksplisit untuk fungsi yang (tidak) menghilang pada C e a s y (dalam hal ini, kelas yang penentunya lengkap) dapat digunakan untuk memperoleh suatu aturan kombinatorial untuk masalah yang diinginkan dalam teori representasi, seperti yang telah terjadi di pengaturan lain dalam geometri aljabar. Langkah menengah di sini adalah menemukan dasar untuk hal - hal tersebutpCeasypyang (tidak) hilang pada normalisasi , yang dengan konstruksi varietas aljabar yang lebih baik - dengan kata lain, untuk derandomisasi Lemma Normalisasi Noether untuk DET.Ceasy
Contoh simetri kompleksitas dan fungsi
Misalnya, kompleksitas fungsi - untuk sebagian besar pengertian kompleksitas alami - tidak berubah jika kita mengubah variabel f ( x π ( 1 ) , ... , x π ( n ) ) oleh beberapa permutasi π . Jadi permutasi adalah simetri kompleksitas itu sendiri. Untuk beberapa pengertian kompleksitas (seperti dalam kompleksitas rangkaian aljabar) semua perubahan linear yang tidak dapat dibalik dari variabel-variabel adalah simetri.f(x1,…,xn)f(xπ(1),…,xπ(n))π
det ( A X B ) = det ( X T ) = det ( X ) A , B det ( A B ) = 1det(X)det(AXB)=det(XT)=det(X)A,Bdet(AB)=1
Beberapa Kemajuan Terbaru [bagian ini jelas tidak lengkap dan lebih teknis, tetapi akun lengkap akan memakan waktu puluhan halaman .... Saya hanya ingin menyoroti beberapa kemajuan terbaru]
Burgisser dan Ikenmeyer [BI2] menunjukkan batas bawah lebih rendah pada perkalian matriks mengikuti program GCT sejauh menggunakan representasi dengan multiplisitas nol vs bukan nol. Landsberg dan Ottaviani [LO] memberikan batas bawah paling dikenal pada dasarnya pada peringkat perbatasan perkalian matriks menggunakan teori representasi untuk mengatur properti aljabar, tetapi tidak menggunakan multiplikasi representasi atau aturan kombinatorial.2n232n22n2
Masalah berikutnya setelah koefisien Littlewood-Richardson adalah koefisien Kronecker . Ini muncul baik dalam serangkaian masalah yang diduga pada akhirnya mencapai representasi-teori masalah yang timbul dalam GCT, dan lebih langsung sebagai batas pada multiplisitas dalam pendekatan GCT untuk penggandaan matriks dan permanen versus determinan. Menemukan aturan kombinatorial untuk koefisien Kronecker adalah masalah terbuka lama dalam teori representasi; Blasiak [B] baru-baru ini memberikan aturan kombinatorial untuk koefisien Kronecker dengan satu bentuk kait.
Kumar [K] menunjukkan bahwa representasi tertentu muncul dalam cincin koordinat dari determinan dengan multiplisitas bukan-nol, dengan asumsi dugaan kolom kolom Latin (lih. Huang-Rota dan Alon-Tarsi; dugaan ini juga, mungkin tidak secara kebetulan, muncul di [BI2 ]). Karenanya representasi ini tidak dapat digunakan untuk memisahkan permanen dari determinan atas dasar kelipatan nol vs bukan nol, meskipun masih mungkin untuk menggunakannya untuk memisahkan permanen dari determinan dengan ketidaksetaraan yang lebih umum antara multiplisitas.
Referensi
[B] J. Blasiak. Koefisien Kronecker untuk satu bentuk kait. arXiv: 1209.2018, 2012.
[BI] P. Burgisser dan C. Ikenmeyer. Algoritma max-flow untuk kepositifan koefisien Littlewood-Richardson. FPSAC 2009.
[BI2] P. Burgisser dan C. Ikenmeyer. Batas Bawah Eksplisit melalui Teori Kompleksitas Geometris. arXiv: 1210.8368, 2012.
[BZ] AD Berenstein dan AV Zelevinsky. Multiplisitas tiga untuk dan spektrum aljabar eksterior dari representasi adjoint. sl(r+1)J. Algebraic Combin. 1 (1992), no. 1, 7–22.
[GCT1] KD Mulmuley dan M. Sohoni. Teori Kompleksitas Geometrik I: Suatu Pendekatan terhadap P vs NP dan Masalah Terkait. SIAM J. Comput. 31 (2), 496-526, 2001.
[GCT2] KD Mulmuley dan M. Sohoni. Teori Kompleksitas Geometris II: Menuju Penghalang Eksplisit untuk Penyuluhan antar Varietas Kelas. SIAM J. Comput., 38 (3), 1175–1206, 2008.
[GCT3] KD Mulmuley, H. Narayanan, dan M. Sohoni. Teori kompleksitas geometri III: tentang penentuan tidak berlebihnya koefisien Littlewood-Richardson. J. Algebraic Combin. 36 (2012), no. 1, 103–110.
[GCT5] KD Mulmuley. Teori Kompleksitas Geometrik V: Kesetaraan antara derandomisasi blackbox dari pengujian identitas polinomial dan derandomisasi Lemma Normalisasi Noether. FOCS 2012, juga arXiv: 1209.5993.
[GCT6] KD Mulmuley. Teori Kompleksitas Geometrik VI: flip via positif. , Laporan Teknis, departemen Ilmu Komputer, Universitas Chicago, Januari 2011.
[K] S. Kumar. Studi representasi yang didukung oleh penutupan orbit dari determinan. arXiv: 1109.5996, 2011.
[LO] JM Landsberg dan G. Ottaviani. Batas bawah baru untuk peringkat perbatasan perkalian matriks. arXiv: 1112.6007, 2011.
[KT] A. Knutson dan T. Tao. Model honeycomb dari produk tensor . I. Bukti dugaan saturasi. GLn(C)J. Amer. Matematika Soc. 12 (1999), no. 4, 1055–1090.
[KT2] A. Knutson dan T. Tao. Sarang lebah dan jumlah matriks Hermitian. Pemberitahuan Amer. Matematika Soc. 48 (2001), no. 2, 175–186.