Memeriksa apakah semua produk dari serangkaian matriks akhirnya sama dengan nol

19

Saya tertarik pada masalah berikut: diberikan matriks bilangan bulat memutuskan apakah setiap produk tak terbatas dari matriks ini akhirnya sama dengan nol matriks. $A_1,A_2, \ldots, A_k$

Ini berarti persis seperti yang Anda pikirkan: kami akan mengatakan serangkaian matriks memiliki properti yang semua produknya akhirnya sama dengan nol jika tidak ada urutan tak terbatas , semuanya dalam , sedemikian rupa sehingga untuk semua . $\{A_1, \ldots, A_k\}$ $i_1, i_2, i_3\ldots$ $\{1, \ldots, k\}$

A_{i_{1}} A_{i_{2}} \dots A_{i_{l}} \neq 0

$A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_l} \neq 0$

l

$l$

Apakah masalah memutuskan apakah setiap produk akhirnya sama dengan nol telah dipelajari sebelumnya? Apakah itu decidable?

Sepertinya itu mungkin terkait dengan kematian matriks, yang tidak dapat diputuskan, tapi saya tidak melihat hubungan yang jelas.

linear-algebra decidability

— Robinson
sumber

Anda memerlukan semacam properti konvergensi pada set matriks untuk memastikan bahwa produk tak terbatas ditentukan.

— András Salamon

Apakah Anda beroperasi di bidang terbatas atau bilangan bulat dengan pertumbuhan tidak terbatas? Kasus

k

$k$ = 1 menarik karena haknya sendiri. Menggunakan bilangan bulat dari -100 ke 100 dalam matriks 5x5, apa kekuatan tertinggi yang bisa Anda dapatkan sebelum nol?

— Chad Brewbaker

2

@YuvalFilmus - Saya percaya ini berbeda dari kematian. Biarkan dimensi matriks menjadi

1

$1$ , sehingga kita hanya memiliki angka, dan anggap

A_{0} = 0, A_{1} = 1

$A_0 = 0, A_1=1$ . Fana? Ya karena

A_{0} = 0

$A_0 = 0$ . Setiap produk sama dengan nol? Tidak: bukan produk

1 \cdot 1 \cdot 1 \dots

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots$ . Di sisi lain, jika

A_{0} = 0, A_{1} = 0

$A_0=0,A_1=0$ maka Anda memiliki urutan yang fana dan setiap produk adalah nol.

— robinson

1

@ChadBrewbaker - Saya berpikir bahwa entri matriks hanyalah bilangan bulat. Saya kira

k = 1

$k=1$ menarik dari sudut pandang: berapa banyak operasi yang Anda butuhkan untuk memeriksa bahwa matriks nilpoten? Perhatikan bahwa jika

A

$A$ nilpotent, maka mudah untuk melihat bahwa

A^{n} = 0

$A^n = 0$ mana

n

$n$ adalah dimensi

A

$A$ sehingga mungkin Anda bisa menyelesaikannya dengan mengkuadratkan matriks

\log n

$\log n$ kali. Saya tidak tahu apakah ini yang terbaik yang dapat Anda lakukan.

— robinson

1

Menariknya, ini hanya di: arxiv.org/abs/1306.0729 . Alih-alih bertanya apakah semua produk akhirnya nol, mereka bertanya apakah beberapa produk akhirnya positif. Mereka menunjukkan bahwa masalahnya adalah NP-hard (atau setidaknya itulah yang saya kumpulkan dari abstrak).

— Joshua Grochow

17

Pertanyaan Anda setara dengan apakah menghasilkan aljabar nilpotent ~~, yang pada gilirannya setara dengan masing-masing~~ ~~yang nilpotent~~ . Oleh karena itu tidak hanya decidable, tetapi dalam waktu di mana adalah eksponen dari perkalian matriks. $A_1, \dotsc, A_k$ ~~$A_i$~~ $\tilde O(n^{2 \omega})$ $\omega$

Biarkan menjadi aljabar asosiatif yang dihasilkan oleh : yaitu, ambil semua kombinasi linier dari dan semua produk hingga. disebut nilpotent jika ada beberapa sedemikian sehingga setiap produk dari elemen adalah nol. $\mathcal{A}$ $A_i$ $A_i$ $\mathcal{A}$ $N$ $N$ $\mathcal{A}$

Pertama, mari kita lihat mengapa kondisi Anda menyiratkan bahwa tidak berguna. Ini mengikuti dari Konig's Lemma (kekompakan): setiap string panjang atas alfabet sesuai dengan produk dengan panjang dengan cara yang jelas. Pertimbangkan pohon berakar -ary yang tak terbatas , yang simpul-simpulnya secara alami dalam korespondensi bijektif dengan string di atas . Pertimbangkan sub-tree terdiri dari simpul-simpul di mana produk yang sesuai dari adalah nol. Lemma Konig mengatakan bahwa jika $\mathcal{A}$ $n$ $\{1, \dotsc, k\}$ $A_1, \dotsc, A_k$ $n$ $k$ $\{1, \dotsc, k\}$ $T$ $A_i$ $T$ tidak terbatas, maka ia memiliki jalur tanpa batas (persis melanggar properti Anda), maka adalah terbatas. Kita kemudian dapat mengambil menjadi panjang maksimum string apapun dalam . Jadi, properti Anda menyiratkan bahwa bernilai. $T$ $N$ $T$ $\mathcal{A}$

Kebalikannya juga benar, karena setiap elemen dari adalah kombinasi linear dari produk-produk dari . $\mathcal{A}$ $A_i$

Selanjutnya, perhatikan bahwa adalah subalgebra dari matriks, dan karenanya adalah dimensi hingga. $\mathcal{A}$ $n \times n$

Akhirnya: aljabar asosiatif dimensi terbatas dalam karakteristik nol memiliki dasar elemen nilpoten (komuter atau tidak - ini adalah bagian yang bertentangan dengan jawaban Yuval) jika itu nilpoten (lihat, misalnya, di sini ).

Dengan demikian, untuk menyelesaikan masalah Anda, temukan dasar untuk aljabar asosiatif yang dihasilkan oleh (oleh versi aljabar linier dari pencarian pertama yang luas) dan periksa bahwa setiap matriks dalam basis tidak ada potensi. Batas atas berasal dari penyelesaian sistem persamaan linear dalam variabel dalam pencarian pertama yang luasnya. Sebagai BFS tidak dapat bertahan lama, dan karena ini adalah matriks untuk memeriksa apakah matriks nilpoten, hanya perlu memeriksa bahwa . $A_i$ $\tilde O(n^{2\omega})$ $n^2$ $\dim \mathcal{A} \leq n^2$ $n \times n$ $A$ $A^n = 0$

— Joshua Grochow
sumber

2

Apakah Anda pikir ada cara untuk menunjukkan ini tanpa menggunakan prinsip pilihan apa pun (bahkan yang selemah König's Lemma, yang setara dengan )?

{AC}_{ω}

$\text{AC}_\omega$

— András Salamon

2

@Andras: Menurut saya itu pertanyaan untuk Chris Conidis. Dia mempelajari pertanyaan-pertanyaan seperti itu dalam matematika terbalik (dapat dihitung). Saya akan bertanya kepadanya dan mengarahkannya ke sini.

— Joshua Grochow

1

@robinson: 1) Ya, masalahnya dapat ditentukan, bahkan dalam waktu mana adalah eksponen dari perkalian matriks. Ini berasal dari memecahkan sistem persamaan linear lebih dari ketika melakukan pencarian aljabar linier pertama. 2) Ya, gagasan dasar yang biasa ketika melihat matriks sebagai vektor di (atau lebih dari atau ).

O (n^{2 ω})

$O(n^{2\omega})$

ω

$\omega$

Q

$\mathbb{Q}$

Q^{n^{2}}

$\mathbb{Q}^{n^2}$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— Joshua Grochow

1

Anda mulai dengan basis dari . Sekarang Anda mencoba menemukan matriks dan sehingga atau tidak dalam rentang . Jika Anda berhasil, tambahkan produk ke dan lanjutkan. Kalau tidak, mengalikan matriks dalam rentang dengan produk matriks hingga dalam selalu berakhir dalam rentang . Karena dimensi aljabar dibatasi, proses berakhir (paling banyak langkah).

B

$\mathcal{B}$

A

$\mathcal{A}$

A \in A

$A \in \mathcal{A}$

B \in B

$B \in \mathcal{B}$

A B

$AB$

B A

$BA$

B

$\mathcal{B}$

B

$\mathcal{B}$

B

$\mathcal{B}$

A

$\mathcal{A}$

B

$\mathcal{B}$

n^{2}

$n^2$

— Yuval Filmus

1

@robinson: Tidak. Jika aljabar nilpoten, maka setiap elemen aljabar nilpoten. Jadi jika Anda menemukan elemen non-nilpoten maka aljabar tidak nilpoten (dan kemudian ada produk tak terbatas dari matriks Anda yang tidak pernah nol).

— Joshua Grochow

6

Saya mendapat algoritma poli-waktu untuk masalah (masalah agak sepele) ini, yaitu untuk memeriksa apakah jari-jari spektral gabungan (JSR) adalah nol atau tidak, pada tahun 1995: http://en.wikipedia.org/wiki/Joint_spectral_radius

Kisah di balik algoritma kira-kira sebagai berikut: Blondel dan Tsitsiklis salah menyatakan bahwa untuk matriks boolean memeriksa apakah JSR <1 adalah NP-HARD. Untuk setiap set matriks bilangan bulat JSR adalah eter nol atau lebih besar atau sama dengan 1. Jadi contoh yang berlawanan dengan pernyataan mereka adalah algoritme saya (lihat errata di kertasnya). Moral utama: lihat dulu Wikipedia!

— leonid gurvits
sumber

5

Pertanyaan yang Anda ajukan persis sama dengan memutuskan apakah jari-jari spektral gabungan (JSR) dari set matriks benar-benar kurang dari satu. Decidability dari pertanyaan ini tetap terbuka untuk beberapa waktu sekarang. (Dalam teori kontrol, ini setara dengan decidability stabilitas sistem linear yang diaktifkan di bawah arbitrary switching.)

Varian berikut dari pertanyaan Anda diketahui tidak dapat diputuskan: Dengan serangkaian matriks persegi yang terbatas, putuskan apakah semua produk tetap terikat; lihat di sini .

Keragu-raguan dari hal di atas tetap berlaku bahkan jika Anda hanya memiliki 2 matriks ukuran 47x47: lihat di sini .

Dalam bahasa JSR, pertanyaan tentang pengujian "apakah JSR ?" tidak dapat diputuskan (lihat referensi di atas), tetapi kesesuaian pengujian "apakah JSR ?" terbuka. Pertanyaan terakhir terkait dengan apa yang disebut "dugaan keterbatasan rasional": Jika dugaan keterbatasan rasional itu benar, maka pertanyaan yang Anda ajukan dapat dipilih. $\le 1$ $< 1$

Akhirnya, kecuali P = NP, JSR tidak dapat diperkirakan dalam waktu polinomial (dalam arti yang tepat didefinisikan dalam makalah ini ).

Akibatnya, salah satu jawaban di atas yang mengklaim algoritma yang efisien harus salah.

Di sisi positif, ada beberapa algoritma (misalnya berdasarkan pemrograman semidefinite) untuk mendekati JSR. Algoritme yang berbeda datang dengan jaminan kinerja yang berbeda. Lihat misalnya berikut ini (tanpa malu-malu oleh saya dan rekan saya - tetapi lihat juga referensi di dalamnya ).

Dalam beberapa kasus khusus, pertanyaan yang Anda tanyakan adalah waktu polinomial yang dapat ditentukan. Misalnya, ketika matriks simetris, atau peringkat satu, atau jika mereka bepergian.

Akhirnya, buku yang bagus tentang hal ini adalah sebagai berikut .

— Amir Ali Ahmadi
sumber

Silakan baca pernyataan formal dari pertanyaan yang saya ajukan - itu tidak setara dengan memutuskan apakah JSR benar-benar kurang dari satu. Anda, mungkin, disesatkan oleh judul pertanyaan. Singkatnya, saya bertanya tentang setiap produk yang sama dengan nol dalam waktu yang terbatas , bukan dalam arti asimptotik.

— robinson

2

Maka pertanyaan yang Anda ajukan jauh lebih sederhana. Berikut ini adalah setara: (i) Kondisi yang Anda tetapkan (ii) Semua produk hingga nilpoten (iii) JSR = 0 (iv) Semua produk dengan panjang n adalah nol (n adalah dimensi, ini tidak tergantung pada jumlah matriks k). Kondisi terakhir jelas menyiratkan decidability, dan jika faktanya Anda dapat memeriksa kondisi dalam waktu polinomial. Lihat Bagian 2.3.1 dari buku karya Jungers yang tertaut di akhir posting saya. Saya minta maaf karena berpikir Anda maksud dengan versi asimptotik. (Saya disesatkan oleh frasa "semua produk akhirnya sama dengan nol".)

— Amir Ali Ahmadi

Dalam hal ini, @AmirAliAhmadi tidak menjawab oleh Joshua Grochow?

— Suresh Venkat

2

Tampaknya bagi saya memang demikian, dengan algoritma yang berbeda dari apa yang ada dalam pikiran saya. (Lagi-lagi, permintaan maaf saya karena berpikir bahwa pertanyaannya adalah "apakah semua produk menyatu menjadi nol" (yaitu, JSR <1?) Yang kepatutannya terbuka.) Ada beberapa perbedaan meskipun dengan jawaban Yosua. (1) Dalam kesetaraan (i) - (iv) dalam komentar saya sebelumnya, saya tidak berpikir Lemma Konig perlu digunakan. (2) Saya tidak mengerti mengapa dia mengambil kombinasi linear dari matriks. (3) Saya salin di bawah ini algoritma alternatif sederhana dari Bagian 2.3.1 buku oleh Jungers, dikaitkan di sana dengan Leonid Gurvits.

— Amir Ali Ahmadi

4

[terus dari atas ...] Semua kita perlu cek adalah apakah semua produk dari panjang adalah nol, tetapi ada matriks tersebut. Untuk menghindari hal ini, tentukan matriks berikut secara iteratif: . Kemudian, seseorang memiliki . Matriks ini dapat dihitung dengan perkalian matrix, dan bernilai nol jika dan hanya jika semua produk dengan panjang adalah nol.

n

$n$

k^{n}

$k^n$

X_{0} = I, X_{j} = \sum_{i = 1}^{k} A_{i}^{T} X_{j - 1} A_{i}

$X_0=I,\ X_j=\sum_{i=1}^k A_i^TX_{j-1}A_i$

X_{n} = \sum_{A product of length n} A^{T} A

$X_n=\sum_{A\mbox{ product of length n}}A^TA$

k n

$kn$

n

$n$

— Amir Ali Ahmadi

0

Sunting: Sayangnya jawaban ini salah. Kesalahan disorot di bawah ini. Argumen itu berfungsi jika kita diizinkan untuk mengubah matriks.

Kami mulai dengan membuktikan lemma.

Kata pengantar singkat. Misalkan menjadi matriks dan misalkan menjadi matriks dengan yang ada di diagonal sekunder. Jika dan adalah nol untuk semua maka . Kesimpulan yang benar: adalah segitiga atas dengan nol pada diagonal. (Kesimpulan asli dipulihkan jika kita juga diizinkan untuk menggandakan dengan kekuatan transpos ) $A$ $n\times n$ $N$ $n\times n$ $AN^t$ $N^tA$ $t \geq 0$ $A = 0$ $A$ $N$

Bukti. Misalkan misalnya bahwa , dan tulis Kita mulai dengan menghitung : Matriks ini berbentuk segitiga, dan jika nilpoten maka . Lanjutkan dengan : $n = 3$

A = (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}), N = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

A N^{2}

$AN^2$

A N^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & g \end{matrix}) .

$AN^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & g \end{pmatrix}.$

A N^{2}

$AN^2$

g = 0

$g = 0$

A N^{1}

$AN^1$

A N^{1} = (\begin{matrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & h \end{matrix}) .

$AN^1 = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & h \end{pmatrix}.$

A N^{1}

$AN^1$ is nilpotent maka . Melanjutkan, Seperti sebelumnya, kita menyimpulkan bahwa , dan adalah segitiga atas dengan nol pada diagonal.

d = h = 0

$d = h = 0$

A N^{0} = (\begin{matrix} a & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i \end{matrix}) .

$AN^0 = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix}.$

a = e = i = 0

$a = e = i = 0$

A

$A$

Jika sekarang kita mempertimbangkan sebagai gantinya, maka kami menyimpulkan bahwa adalah segitiga yang lebih rendah dengan nol pada diagonal. Sebenarnya, kami tidak mendapatkan sesuatu yang baru dari mempertimbangkan . Karena itu . $N^2A,N^1A,N^0A$ $A$ $N^tA$ $A = 0$ $\square$

Beginilah buktinya jika versi asli dari lemma itu benar. Sekarang kembali ke masalah yang dihadapi. Katakanlah bahwa matriksmemenuhi properti P jika untuk setiap urutan tanpa batas, kami memilikiuntuk beberapa. Jika salah satu dari matriksadalah tidak nilpoten properti maka P jelas gagal, sehingga menganggap bahwa semua matriks yang nilpotent. Jika semua matriks bepergian maka properti P dengan jelas dipegang, jadi misalkan. Ubah dasar sehinggadalam bentuk normal Jordan, dan biarkan dekomposisi yang sesuai dari ruang vektor menjadi $A_1,\ldots,A_k$ $i_1,\ldots \in [k]$ $A_{i_1} \cdots A_{i_m} = 0$ $m$ $A_i$ $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$ $A_1$ $V_1 \oplus \cdots \oplus V_t$ . Biarkan menjadi ruang vektor di mana ; perhatikan bahwa sejak dengan segalanya. Terbatas untuk , dan . Karenanya, lemma menyiratkan bahwa untuk beberapa , baik atau tidak , dan oleh karena itu properti P jelas gagal. $V_i$ $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$ $\dim V_i > 1$ $0$ $V_i$ $A_1 = N$ $A_2 \neq 0$ $t \geq 0$ $A_2 A_1^t$ $A_1^t A_2$

Ringkasnya, properti P berlaku jika semua matriks nilpoten dan semuanya berpindah-pindah.

— Yuval Filmus
sumber

4

Kalimat terakhir dari bukti lemma Anda tidak benar. Nilpotent menyiratkan , Nilpotent memberikan , dan Nilpotent memberikan . Jadi kita hanya menyimpulkan bahwa adalah segitiga atas dengan nol pada diagonal, bukan bahwa adalah diagonal (dan karenanya nol).

N^{2} A

$N^2 A$

g = 0

$g = 0$

N^{1} A

$N^1 A$

d = h = 0

$d = h = 0$

N^{0} A

$N^0 A$

a = e = i = 0

$a=e=i=0$

A

$A$

A

$A$

— Joshua Grochow

Memang, jawaban ini tidak benar. Jika tidak ada orang lain yang melakukannya, saya akan mengirim contoh balasan ke lemma dan pernyataan akhir ketika saya pulang nanti hari ini.

— robinson

5

Seperti biasa, ketika sesuatu diklaim tetapi tidak terbukti buktinya gagal. Oh well ...

— Yuval Filmus

1

A_{0} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), A_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$A_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$