Kompleksitas fungsi eksponensial


36

Kita tahu bahwa fungsi eksponensial atas bilangan asli tidak dapat dihitung dalam waktu polinomial, karena ukuran output tidak dibatasi secara polinomi dalam ukuran input.exp(x,y)=xy

Apakah ini alasan utama untuk kesulitan menghitung fungsi eksponensial, atau apakah eksponensial pada dasarnya sulit untuk dihitung, terlepas dari pertimbangan ini?

Apa kerumitan grafik bit dari fungsi eksponensial?

{x,y,sayax,y,sayaN dan saya- sedikit xy aku s 1}

Saya mengubah gagasan "EXP" menjadi "L", karena EXP adalah nama kelas kompleksitas yang terkenal, dan dapat menyebabkan kebingungan.
MS Dousti

Jika terbatas pada kekuatan 2, maka L adalah A C 0 . Juga grafik eksponensial Γ e x p = { ( x , y , z ) : x y = z } memiliki kompleksitas yang rendah. xLAC0Γexp={(x,y,z):xy=z}
Kaveh

3
Sadeq: Jika Anda ingin menghindari kelas kompleksitas, L sama sekali tidak lebih baik dari EXP ... Mengubahnya menjadi X.
Peter

@ Peter: Dalam konteksnya, L pastinya adalah "bahasa" daripada kelas kompleksitas ruang Log. Bagaimanapun, X adalah pilihan yang jauh lebih baik.
MS Dousti

@ Kaveh: Pertanyaannya menyatakan bahwa ini tentang fungsi eksponensial pada bilangan asli.
Tsuyoshi Ito

Jawaban:


17

Berikut adalah beberapa batas atas.

Dengan kuadrat ulang, masalahnya ada di PSPACE.

Ada batas atas yang sedikit lebih baik. Masalahnya adalah kasus khusus dari masalah BitSLP: Diberikan program garis lurus mulai dari 0 dan 1 dengan penambahan, pengurangan, dan perkalian yang mewakili bilangan bulat N , dan diberikan i ∈ℕ, tentukan apakah bit ke- i (dihitung dari bit paling signifikan) dari representasi biner N adalah 1. Masalah BitSLP adalah dalam hierarki penghitungan ( CH ) [ABKM09]. (Dinyatakan dalam [ABKM09] bahwa dapat ditunjukkan bahwa masalah BitSLP ada di PH PP PP PP PP .)

Keanggotaan untuk CH sering dianggap sebagai bukti bahwa masalahnya tidak mungkin sulit PSPACE, karena kesetaraan CH = PSPACE menyiratkan bahwa hierarki penghitungan runtuh. Namun, saya tidak tahu seberapa kuat bukti ini dianggap.

Adapun kekerasannya, BitSLP terbukti # P-hard di kertas yang sama [ABKM09]. Namun, buktinya tampaknya tidak menyiratkan kekerasan bahasa X dalam pertanyaan.

Referensi

[ABKM09] Eric Allender, Peter Bürgisser, Johan Kjeldgaard-Pedersen dan Peter Bro Miltersen. Pada kompleksitas analisis numerik. Jurnal SIAM tentang Komputer , 38 (5): 1987–2006, Januari 2009. http://dx.doi.org/10.1137/070697926


12

Bukan jawaban yang lengkap, tetapi setidaknya sebagian.

Saya perhatikan bahwa dua jawaban yang telah muncul sejauh ini belum menyebutkan fakta bahwa ada O(n1+ω) algoritma untuk menghitung eksponensial modular mana n adalah jumlah bit dalam z , dan di mana ω adalah eksponen yang sesuai dengan algoritma multiplikasi tercepat. Jadi bit yang kurang signifikan dari eksponensial dapat dihitung secara efisien (dalam O ( n 3 ) atau kurang).xy mod znzωO(n3)

Cara melakukannya cukup sederhana: Anda dapat menghitung , c 2 = x 2 mod  z , c j = c 2 j - 1 mod  z . Jelas c j = x 2 j mod  z , dan juga x yc1=xc2=x2 mod zcj=cj12 mod zcj=x2j mod z , tapi karena hanya ada n istilah c j ini hanya memakan waktu nxyjcjyj mod zncjn perkalian.

Selanjutnya, kita dapat menulis sebagai ( Σ n i = 0 2 i x i ) y , sehingga bit paling signifikan yang bersesuaian kira-kira 2 n y juga dapat efisien menghitung seperti ini hanya akan tergantung pada pada yang paling sedikit signifikan dari x .xy(i=0n2ixi)y2nyx

Jadi masalah hanya nyata hal disebabkan oleh bit menuju pusat .xy


1
Ada hubungan yang menarik antara jawaban ini dan jawaban saya. Jika saya tidak salah, gambaran umum kasar dari algoritma dalam [ABKM09 ] yang dikutip dalam jawaban saya adalah menggabungkan ide ini dengan teorema sisa bahasa Mandarin untuk mendapatkan bit yang lebih tinggi.
Tsuyoshi Ito

Ah, aku belum menyadarinya.
Joe Fitzsimons

6

[Jawaban ini menjelaskan beberapa aspek menarik tentang jawaban Per Vognsen . Ini bukan jawaban langsung untuk pertanyaan OP, namun dapat membantu dalam menyelesaikan pertanyaan seperti itu.]

Pertama, lihat tautan berikut: sayaπsaya-1

Selanjutnya, lihat pendapat Dick Lipton tentang hal ini: sayaπSC

SC

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.