Kompleksitas fungsi eksponensial

Kita tahu bahwa fungsi eksponensial atas bilangan asli tidak dapat dihitung dalam waktu polinomial, karena ukuran output tidak dibatasi secara polinomi dalam ukuran input. $\exp(x,y) = x^y$

Apakah ini alasan utama untuk kesulitan menghitung fungsi eksponensial, atau apakah eksponensial pada dasarnya sulit untuk dihitung, terlepas dari pertimbangan ini?

Apa kerumitan grafik bit dari fungsi eksponensial?
${⟨ x, y, saya ⟩ ∣ x, y, saya \in N dan saya - sedikit x^{y} aku s 1}$ $\{\langle x,y,i \rangle \mid x,y,i\in\mathbb{N} \text{ and the $i$-th bit of $x^y$ is $1$} \}$

cc.complexity-theory nt.number-theory

— Peter
sumber

Saya mengubah gagasan "EXP" menjadi "L", karena EXP adalah nama kelas kompleksitas yang terkenal, dan dapat menyebabkan kebingungan.

— MS Dousti

Jika

terbatas pada kekuatan 2, maka

adalah

. Juga grafik eksponensial

memiliki kompleksitas yang rendah.

x

$x$

L

$L$

A C^{0}

$AC^0$

Γ e x p = {(x, y, z) : x^{y} = z}

$\Gamma exp=\{(x,y,z) : x^y=z\}$

— Kaveh

Sadeq: Jika Anda ingin menghindari kelas kompleksitas, L sama sekali tidak lebih baik dari EXP ... Mengubahnya menjadi X.

— Peter

@ Peter: Dalam konteksnya, L pastinya adalah "bahasa" daripada kelas kompleksitas ruang Log. Bagaimanapun, X adalah pilihan yang jauh lebih baik.

— MS Dousti

@ Kaveh: Pertanyaannya menyatakan bahwa ini tentang fungsi eksponensial pada bilangan asli.

— Tsuyoshi Ito

Jawaban:

Berikut adalah beberapa batas atas.

Dengan kuadrat ulang, masalahnya ada di PSPACE.

Ada batas atas yang sedikit lebih baik. Masalahnya adalah kasus khusus dari masalah BitSLP: Diberikan program garis lurus mulai dari 0 dan 1 dengan penambahan, pengurangan, dan perkalian yang mewakili bilangan bulat N , dan diberikan i ∈ℕ, tentukan apakah bit ke- i (dihitung dari bit paling signifikan) dari representasi biner N adalah 1. Masalah BitSLP adalah dalam hierarki penghitungan ( CH ) [ABKM09]. (Dinyatakan dalam [ABKM09] bahwa dapat ditunjukkan bahwa masalah BitSLP ada di PH ^{PP ^{PP ^{PP ^PP}}} .)

Keanggotaan untuk CH sering dianggap sebagai bukti bahwa masalahnya tidak mungkin sulit PSPACE, karena kesetaraan CH = PSPACE menyiratkan bahwa hierarki penghitungan runtuh. Namun, saya tidak tahu seberapa kuat bukti ini dianggap.

Adapun kekerasannya, BitSLP terbukti # P-hard di kertas yang sama [ABKM09]. Namun, buktinya tampaknya tidak menyiratkan kekerasan bahasa X dalam pertanyaan.

Referensi

[ABKM09] Eric Allender, Peter Bürgisser, Johan Kjeldgaard-Pedersen dan Peter Bro Miltersen. Pada kompleksitas analisis numerik. Jurnal SIAM tentang Komputer , 38 (5): 1987–2006, Januari 2009. http://dx.doi.org/10.1137/070697926

— Tsuyoshi Ito
sumber

Bukan jawaban yang lengkap, tetapi setidaknya sebagian.

Saya perhatikan bahwa dua jawaban yang telah muncul sejauh ini belum menyebutkan fakta bahwa ada $O(n^{1+\omega})$ algoritma untuk menghitung eksponensial modular mana adalah jumlah bit dalam , dan di mana adalah eksponen yang sesuai dengan algoritma multiplikasi tercepat. Jadi bit yang kurang signifikan dari eksponensial dapat dihitung secara efisien (dalam atau kurang). $x^y ~\mbox{mod }z$ $n$ $z$ $\omega$ $O(n^3)$

Cara melakukannya cukup sederhana: Anda dapat menghitung , , . Jelas , dan juga $c_1 = x$ $c_2 = x^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = c_{j-1}^2 ~\mbox{mod }z$ $c_j = x^{2^j}~\mbox{mod }z$ , tapi karena hanya ada istilah ini hanya memakan waktu $x^y \equiv \prod_j c_j^{y_j}~\mbox{mod }z$ $n$ $c_j$ $n$ perkalian.

Selanjutnya, kita dapat menulis sebagai , sehingga bit paling signifikan yang bersesuaian kira-kira juga dapat efisien menghitung seperti ini hanya akan tergantung pada pada yang paling sedikit signifikan dari . $x^y$ $(\sum_{i=0}^n 2^i x_i)^y$ $2^{ny}$ $x$

Jadi masalah hanya nyata hal disebabkan oleh bit menuju pusat . $x^y$

— Joe Fitzsimons
sumber

Ada hubungan yang menarik antara jawaban ini dan jawaban saya. Jika saya tidak salah, gambaran umum kasar dari algoritma dalam [ABKM09 ] yang dikutip dalam jawaban saya adalah menggabungkan ide ini dengan teorema sisa bahasa Mandarin untuk mendapatkan bit yang lebih tinggi.

— Tsuyoshi Ito

Ah, aku belum menyadarinya.

— Joe Fitzsimons

[Jawaban ini menjelaskan beberapa aspek menarik tentang jawaban Per Vognsen . Ini bukan jawaban langsung untuk pertanyaan OP, namun dapat membantu dalam menyelesaikan pertanyaan seperti itu.]

Pertama, lihat tautan berikut: $i$ $\pi$ $i-1$

Selanjutnya, lihat pendapat Dick Lipton tentang hal ini: $i$ $\pi$ $\rm SC$

$\rm SC$

— MS Dousti
sumber