Apakah { } tidak bebas konteks?

Apakah bahasa { } bebas konteks atau tidak? $a^{i}b^{j}c^{k} ~|~ i \neq j, i \neq k, j \neq k$

Saya menyadari bahwa saya telah menemukan hampir semua varian pertanyaan ini dengan kondisi yang berbeda tentang hubungan antara i, j, dan k, tetapi tidak yang ini.

Dugaan saya adalah bahwa itu tidak bebas konteks, tetapi apakah Anda punya bukti?

automata-theory fl.formal-languages grammars

— Cem Say
sumber

@ Sariel: Saya harap ini bukan masalah pekerjaan rumah, karena saya tidak tahu bagaimana menyelesaikannya.

— Tsuyoshi Ito

Sepertinya masalah pekerjaan rumah, karena beberapa varian lain yang saya sebutkan cukup mudah menjadi masalah pekerjaan rumah. Namun varian ini bukan masalah pekerjaan rumah. Saya akan senang jika ada yang bisa memberi saya tautan ke situs kursus mana pun di mana masalah khusus ini telah ditetapkan sebagai pekerjaan rumah.

— Cem Say

Bisakah Anda menjelaskan mengapa teknik standar tidak berhasil?

— Warren Schudy

@ Tsuyoshi ... Yeh. Kamu benar. Ini lebih sulit daripada yang terlihat.

— Sariel Har-Peled

Anehnya, bahasa ini (dan penggunaan Lemma Ogden) dapat ditemukan dalam Contoh 6.3 (hlm. 130) dalam versi klasik Hopcroft dan Ullman "Pengantar Teori Automata, Bahasa dan Komputasi".

— Dominik D. Freydenberger

Jawaban:

Lemma Ogden seharusnya bekerja:

Untuk diberikan memilih dan tandai semua 's (dan tidak ada lagi). $p$ $a^i b^p c^k$ $b$

dan dipilih sedemikian rupa sehingga untuk setiap pilihan berapa sebenarnya dipompa ada satu eksponen memompa sedemikian sehingga jumlah sama dengan dan satu di mana sama dengan . $i$ $k$ $b$ $b$ $i$ $k$

Yaitu dan harus dari himpunan . $i$ $k$ $\bigcap_{1 \leq n \leq p} \lbrace p-n + m*n \mid m \in \mathbb{N}_0\rbrace$

Saya cukup yakin tetapi terlalu malas untuk membuktikan secara resmi bahwa set ini tidak terbatas.

— Frank Weinberg
sumber

Dengan asumsi bahwa IN_0 berarti himpunan bilangan bulat negatif, himpunan yang disebutkan tidak terbatas karena berisi p + im untuk i = 0, 1, 2, ..., di mana m adalah kelipatan paling umum dari {1, ..., p}.

— Tsuyoshi Ito

Mereka yang tidak tahu lemma Ogden (seperti saya) dapat menganggap Wikipedia bermanfaat.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Ya, Anda benar. Saya tidak melihat representasi sederhana ini kemarin malam.

— Frank Weinberg

Jawaban ini ditampilkan di blog komunitas .

— Aaron Sterling

Bukti serupa disajikan dalam jawaban ini di cs.se.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

-4

Jika hubungan antara ketiga batasan tersebut adalah "ATAU", bahasanya adalah CFL. Solusinya menggunakan fakta bahwa CFL ditutup di bawah serikat. Jelas, berikut ini adalah CFL: , , $L_1=\{a^ib^jc^k \mid i\ne j,\ k\ge 0\}$ $L_2=\{a^ib^jc^k \mid i\ne k,\ j\ge 0\}$ (jika seseorang tidak yakin, seseorang dapat melihat sebagai gabungan dari CFL dan bahasa reguler. Misalnya, adalah digabungkan ke . $L_3=\{a^ib^jc^k \mid j\ne k,\ i\ge 0\}$ $L_i$ $L_1$ $\{a^ib^j\mid i\ne j \}$ $\{c\}^*$

Bahasa yang diinginkan adalah penyatuan . Jadi, itu adalah CFL. $L=L_1\cup L_2\cup L_3$

— R_G
sumber

Ini salah. Sebagai contoh,

dan karenanya di Anda

, tapi

a a b c c \in L_{1}

$aabcc\in L_1$

L

$L$

a a b c c \notin {a^{i} b^{j} c^{k} | i \neq j, i \neq k, j \neq k}

$aabcc\notin\lbrace a^ib^jc^k~|~i\neq j,i\neq k,j\neq k\rbrace$

— Dave Clarke

Anda berasumsi bahwa »hubungan antara ketiga batasan tersebut adalah" ATAU "«, tetapi ini bukan arti yang dimaksudkan. Semua batasan harus dipegang (lih. Contoh tandingan Dave Clarke), dan kemudian bahasanya tidak bebas konteks (lih. Jawaban di atas).

— DaniCL