(N) DFA dengan kondisi awal / penerima yang sama

13

Apa yang diketahui tentang kelas bahasa yang dikenali oleh automata terbatas yang memiliki keadaan awal dan penerima yang sama? Ini adalah bagian yang tepat dari bahasa biasa (karena setiap bahasa tersebut berisi string kosong), tetapi seberapa lemah itu? Apakah ada karakterisasi aljabar sederhana?

Ditto untuk bahasa yang dikenali oleh automata non-deterministik memiliki set yang sama dari negara awal dan penerima.

— Noam Zeilberger
sumber

13

Anggap Anda maksudkan bahwa keadaan awal haruslah keadaan penerimaan unik, automata terbatas yang memiliki struktur ini sesuai dengan bahasa ekspresi reguler dari bentuk

, di mana

adalah beberapa ekspresi reguler.

r^{*}

$r^*$

r

$r$

— Huck Bennett

Ah, tentu saja. Terima kasih! Jika Anda ingin memposting komentar ini sebagai jawaban, saya akan menerimanya dan menutup pertanyaan.

— Noam Zeilberger

8

Pertanyaan ini diselesaikan untuk automata deterministik dan untuk automata ambigu dalam buku [1]

[1] J. Berstel, D. Perrin, C, Reutenauer, Kode dan automata, Vol. 129 dari Ensiklopedia Matematika dan Penerapannya, Cambridge University Press, 2009.

Dalam kasus automata deterministik, karakterisasi diberikan dalam Proposisi 3.2.5. Ingat bahwa submonoid dari adalah kesatuan yang tepat jika, untuk semua , menyiratkan . $M$ $A^*$ $u, v \in M$ $u, uv \in M$ $v \in M$

Proposisi . Biarkan menjadi subset reguler dari . Kondisi berikut ini setara: $L$ $A^*$

adalah submonoid kesatuan yang tepat, $L$

untuk beberapa kode awalan , $L = P^*$ $P$

Otomat minimal memiliki keadaan akhir yang unik, yaitu keadaan awal. $L$

Ada otomat deterministik mengenali memiliki keadaan awal sebagai keadaan akhir yang unik. $L$

Untuk automata yang tidak ambigu, karakterisasi mengikuti dari Teorema 4.2.2 dan dapat dinyatakan sebagai berikut:

Proposisi . Biarkan menjadi subset reguler dari . Kondisi berikut ini setara: $L$ $A^*$

adalah submonoid gratis , $L$ $A^*$

untuk beberapa kode , $L = C^*$ $C$

Ada automaton yang jelas yang mengenali memiliki keadaan awal sebagai keadaan akhir yang unik. $L$

Akhirnya, untuk automata nondeterministic, karakterisasi hanya yang adalah submonoid dari . $L$ $A^*$

— J.-E. Pin
sumber

1

Mungkin layak untuk melihat dekomposisi monomial kesatuan-awalan Eilenberg untuk bahasa reguler (rasional dalam terminologinya). Saya tidak membawa salinan buku itu, tetapi buku itu ada di suatu tempat dalam bagian Automata, Languages and Machines, Volume A (1974) sebelumnya.

— gdmclellan

1

@ gdmclellan Anda benar sekali. Referensi yang tepat adalah Bab. IV, Proposisi 3.2.

— J.-E.

Dalam kedua Proposisi, dapatkah kita menambahkan bahwa

dan

teratur? Yaitu

untuk beberapa kode awalan

mana

dapat dipilih untuk menjadi biasa?

P

$P$

C

$C$

L = P^{*}

$L = P^*$

P

$P$

P

$P$

— StefanH

14

Automata terbatas di mana keadaan awal juga keadaan penerimaan unik memiliki bentuk , di mana adalah beberapa ekspresi reguler. Namun, seperti J.-E. Pin menunjukkan di bawah ini, kebalikannya tidak benar: ada bahasa dalam bentuk yang tidak diterima oleh DFA dengan negara penerima yang unik. $r^∗$ $r$ $r^*$

Secara intuitif, diberi urutan keadaan sedemikian rupa sehingga baik atau diagram keadaan yang mendasarinya harus memiliki siklus yang melibatkan . Kasus terakhir ditangkap secara aljabar oleh bintang Kleene. $q_0, \ldots, q_n$ $q_0 = q_n$ $n = 0$ $q_0$

— Huck Bennett
sumber

2

Bahasa-bahasa yang diterima oleh suatu automaton di mana keadaan awal juga merupakan keadaan penerimaan yang unik tentu saja dalam bentuk

. Namun, kondisi ini tidak menjadi ciri bahasa yang diterima oleh DFA tersebut. Misalnya, setiap DFA menerima bahasa

memiliki minimal 2 negara akhir.

r^{*}

$r^*$

(a, a b)^{*}

$(a, ab)^*$

— J.-E.

2

Saya pikir karakterisasi yang benar adalah:

diterima oleh minimal DFA yang keadaan awal adalah negara hanya menerima, jika dan hanya jika

adalah dari bentuk

mana

adalah awalan bebas . Saya ingat menemukan ini dalam tesis MS / PhD dari tahun 70-an, tetapi tidak dapat menemukan referensi. Lagi pula, tidak terlalu sulit untuk dibuktikan.

L

$L$

L

$L$

α^{*}

$\alpha^*$

α

$\alpha$

— mikero

@ J.-E.Pin: Ya, terima kasih, saya memperbarui jawaban saya.

— Huck Bennett

10

Subclass penting dari keluarga ini adalah sub-kelas dari bahasa 0-reversibel. Suatu bahasa adalah 0-reversibel jika pembalikan DFA minimal untuk bahasa tersebut juga deterministik. Operasi pembalikan didefinisikan sebagai swapping keadaan awal dan akhir, dan membalikkan hubungan tepi DFA. Ini berarti bahwa bahasa 0-reversibel hanya dapat memiliki satu negara penerima. Pertanyaan Anda menambahkan batasan lebih lanjut bahwa keadaan ini harus menjadi keadaan awal. Batasan Anda tidak menentukan bahasa 0-reversibel karena DFA minimal untuk bahasa tersebut dapat memiliki keadaan awal dan akhir yang berbeda.

Kelas bahasa yang dapat dibalik menarik karena merupakan salah satu keluarga bahasa pertama dengan banyak string yang dapat dipelajari dari contoh-contoh positif saja. Makalah Angluin memberikan karakterisasi aljabar juga.

Inferensi Bahasa Reversibel , Dana Angluin, Jurnal ACM, 1982

— Vijay D
sumber

1

Anda dapat merujuk ke Semi-flower automata, sebagaimana makalah mereka tuliskan: "Otomat semi-bunga (SFA) adalah robot trim dengan keadaan awal yang unik yang sama dengan keadaan akhir yang unik di mana semua siklus akan melewati kondisi awal ". Merujuk pada "DOMPOSISI HOLONOMI AUTOMATA SEMI-BUNGA SIRKULAR" -Shubh Narayan Singh, KV Krishna.

— Viresh
sumber