Teknik-teknik tergantung pada model dan jenis sumber daya yang kita inginkan. Perhatikan bahwa untuk membuktikan batas bawah pada kompleksitas masalah, pertama-tama kita harus memperbaiki model matematika perhitungan: batas bawah untuk status masalah adalah bahwa tidak ada algoritma yang menggunakan sejumlah sumber daya yang dapat memecahkan masalah, yaitu kita menghitung secara universal lebih dari algoritma. Kita perlu memiliki definisi matematis dari domain kuantifikasi. (Ini umumnya berlaku untuk hasil ketidakmungkinan.) Oleh karena itu, hasil batas bawah hanya berlaku untuk model perhitungan tertentu. Misalnya,Ω(nlogn)batas bawah untuk penyortiran hanya berfungsi untuk algoritma penyortiran berbasis perbandingan, tanpa batasan ini dan dalam model komputasi yang lebih umum, mungkin untuk menyelesaikan penyortiran lebih cepat, bahkan waktu linear. (Lihat komentar Josh di bawah ini.)
Berikut adalah beberapa metode dasar langsung untuk membuktikan batas bawah dalam teori kompleksitas komputasi untuk model komputasi yang lebih umum (mesin dan sirkuit Turing).
I. Menghitung:
Ide: Kami menunjukkan bahwa ada lebih banyak fungsi yang algoritme.
Mis: Ada fungsi yang membutuhkan sirkuit besar secara eksponensial.
Masalah dengan metode ini adalah bahwa itu adalah argumen eksistensial dan tidak memberikan fungsi eksplisit atau batas atas pada kompleksitas masalah yang terbukti sulit.
II Kombinatorial / Aljabar:
Ide: Kami menganalisis sirkuit dan menunjukkan bahwa mereka memiliki properti tertentu, misalnya fungsi yang dikomputasi oleh mereka dapat didekati oleh beberapa kelas objek matematika yang bagus, sedangkan fungsi target tidak memiliki properti itu.
Mis: Lemma pengalihan Håstad dan variannya menggunakan pohon keputusan untuk memperkirakan , Razborov-Smolensky menggunakan polinomial pada bidang untuk memperkirakan fungsi , dll. A C 0 [ p ]AC0AC0[p]
Masalah dengan metode ini adalah bahwa dalam praktiknya hanya bekerja untuk kelas kecil dan relatif mudah untuk dianalisis. Ada juga penghalang Bukti Alami dari Razborov-Rudich yang dengan cara memformalisasikan mengapa sifat-sifat sederhana sendiri tidak mungkin cukup untuk membuktikan batas bawah sirkuit yang lebih umum.
Makalah Razborov " Pada metode aproksimasi " berpendapat bahwa metode aproksimasi lengkap untuk membuktikan batas bawah dalam arti tertentu.
AKU AKU AKU. Diagonalisasi:
Ide. Kami mendiagonalisasi terhadap fungsi di kelas yang lebih kecil. Idenya kembali ke Gödel (dan bahkan Cantor).
Ex. Teorema hierarki waktu , teorema hierarki ruang , dll.
PPSpacePPSpace
Kami juga memiliki penghalang relativization (kembali ke Baker, Gill, dan Solovay) dan penghalang aljabar (oleh Aaronson dan Wigderson) yang menyatakan bahwa jenis argumen diagonalisasi tertentu akan ditransfer ke pengaturan lain di mana hasilnya terbukti salah.
Perhatikan bahwa hambatan ini tidak berlaku untuk argumen diagonalisasi yang lebih umum. Bahkan, oleh makalah Dexter Kozen " Pengindeksan kelas subkursif ", diagonalisasi lengkap untuk membuktikan batas bawah.
Seperti yang mungkin telah Anda perhatikan, ada hubungan yang kuat antara menemukan simulator universal yang bagus untuk kelas kompleksitas dan memisahkan kelas kompleksitas dari kelas yang lebih besar (untuk pernyataan formal lihat makalah Kozen).
Karya terbaru
Untuk kemajuan terbaru, periksa makalah terbaru Ryan Williams . Saya tidak membahasnya dalam jawaban ini karena saya berharap Ryan sendiri akan menulis jawaban.